Analiza matematyczna

Analiza matematyczna jest zespołem teorii obejmujący bardzo dużo działów matematyki. W dawniejszych czasach analiza matematyczna zajmowała się jedynie rachunkiem różniczkowym i całkowym, jednak wraz z rozwojem nauki analiza ta zajmuje się coraz większą liczbę pojęć. Prace i badania Leibniza i Newtona na początku XVII wieku zapoczątkowały przełom – rozwój analizy matematycznej. Z początku wyżej wymienione rachunki ograniczały się tylko do kartezjańskich przestrzeni rzeczywistych (inaczej przestrzeni euklidesowej). Lecz z rozwojem objęły jeszcze inne przestrzenie. Są nimi: przestrzenie zespolone (czyli teoria funkcji homologicznych), przestrzenie Banacha oraz przestrzenie Hilberta razem z odpowiadającymi im teoriami, ale też obiekty geometryczne o dość wymagającej strukturze, którymi są na przykład rozmaitości różniczkowe.

Analiza matematyczna dla osób nie znających tego pojęcia w pierwszej chwili może wydawać się czymś prostym. Jednak bez znajomości algebry (jednej z głównej dziedziny matematyki zajmującej się zbiorami) i topologii (działu wyższej matematyki zajmującego się najogólniejszymi przestrzeniami, dla których można zdefiniować pojęcie przekształcenia ciągłego), w tym topologii algebraicznej (dział zajmując się badaniem przestrzeni topologicznych z użycie metod algebraicznych), zaawansowana analiza matematyczna może stać się problemem nie do rozwiązania.

Podczas badań nad problemami analizy matematycznej powstawały nowe działy matematyki ze względu na odkrywanie nowych nie znanych wcześniej pojęć. Wszystkie te, które powstały, dzisiaj wchodzą w skład tej analizy. Poniżej znajdują się ogólnie opisane niektóre z powstałych i rozwiązanych już wcześniej problemów.

1 . Algebra Banacha, czyli przestrzeń Banacha razem z danym określonym dodatkowym działaniem mnożenia oraz analiza harmoniczna, inaczej analiza fourierowska obejmująca teorię oraz zastosowania szeregu transformaty Fouriera.

2 . Analiza funkcjonalna zajmuje się między innymi badaniem własności przestrzeni funkcyjnych.

3 . Funkcje specjalne są umowną nazwą grupy funkcji. Nie są one funkcjami elementarnymi, ale mają duże znaczenie w wielu dziedzinach nauki.

4 . Funkcja zmiennej zespolonej ma podzbiór ciała liczb zespolonych jako dziedzina funkcji. Należy pamiętać, by nie mylić jej z funkcją zespoloną.

5 . Rachunek wariancyjny szuka ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

6 . Rozmaitości różniczkowalne są rozmaitością w postaci sumy otwartych podzbiorów w taki sposób, aby wszystkim punktom poszczególnych podzbiorów dało się przyporządkować współrzędne krzywoliniowe.

7 . Równania całkowe są takimi równaniami funkcyjnymi, w których znajduje się całka zawierająca niewiadomą funkcję. Rozwiązanie takiego równania jest tym samym co znalezienie funkcji.

8 . W równaniach różniczkowych cząstkowych występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz część z jej pochodnych cząstkowych.

9 . W równaniach różniczkowych zwyczajnych występują jedna zmienna niezależna , jedna lub więcej funkcji niewiadomych oraz ich pochodne.

10 . Teoria miary zajmuje się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów. Bada σ-algebry, funkcje mierzalne i całki.

11 . Proces ergodyczny, w skrócie ergodyczność, jest procesem stacjonarnym. Dla niego wartości parametrów statystycznych po zbiorze realizacji są identyczne co wartości tych parametrów z jego dowolnej realizacji czasowej.