Arccos

Wyróżniamy cztery funkcje cyklometryczne: arkus cosinus, arkus sinus, arkus tangens oraz arkus cotangens.

W związku z tym, że znane nam cztery funkcje trygonometryczne nie są różnowartościowe, to możemy utworzyć bardzo wiele (nieskończenie dużo) ich zawężeń, które będą już różnowartościowe. W matematyce wyróżniliśmy cztery takie głównie zawężenia, które nazywamy restrykcjami.

:

Te zawężenia nazywamy mają funkcję odwrotne, które nazywamy jako cyklometryczne funkcje.

Zacznijmy może od wykresu tej funkcji. Gdy narysujemy wykres funkcji zawężonej do wyżej wspomnianego przedziału [0, π], to otrzymamy wykres zielony.

Jeśli natomiast narysujemy funkcję odwrotną do niej, to otrzymamy wzór:

W takim wypadku otrzymujemy wykres czerwony, a więc wykres funkcji arkus cosinus.

Spróbujmy odczytać zbiór wartości oraz dziedzinę tej funkcji. Pamiętaj, że mówimy o czerwonym wykresie.

Przedział zamknięty od minus 1 do 1 jest dziedziną funkcji arccos. To odczytujemy z osi x. —-> [-1, 1]
Teraz przejdźmy do zbioru wartości. Zbiór wartości odczytujemy z pionowej osi, a więc jest to zamknięty przedział od 0 do π —> [0, π].

W związku z tym co napisałam powyżej zachodzi równość:

( < 0; π > )

Zapamiętaj powyższą równość, gdyż przydaje się ona przy rozwiązywaniu trudniejszych zadań.

m
Zauważ, że jeśli narysujemy prostą, której wzór wygląda o tak: y = x, to otrzymujemy prostą zaznaczoną przerywaną linią na wykresie. Jeśli wzdłuż tej prostej symetrycznie odbijemy zielony wykres, to otrzymamy czerwony wykres. W takim razie, stworzenie wykresu funkcji arcos x wcale nie jest takie trudne.

Przyszła kolej na szczególne wartości funkcji arkus cosinus.

Warto pamiętać o poniższym związku:

oraz

Ponadto należy pamiętać, że funkcja arccos nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Teraz czas na przykładowe zadania

zadanie 1
Oblicz lub też odczytaj korzystając z wykresu wartość funkcji arccos dla argumentu -1.

Aby rozwiązać takie zadanie najpierw sporządzamy lub też korzystamy z wykresu online.

Szukane:

I sposób rozwiązania (obliczeniowy)

Ustalmy, że wartość funkcji arkus cosinus dla minus -1 jest równa x. Z równości, którą napisałam powyżej i zaznaczyłam na fiołkowo wynika, że:

<0; π>

W takim razie odczytujemy, że:

x = π

Tym samym:

II sposób rozwiązania (odczytywanie z wykresu)

Patrzymy na oś x. Szukamy argumentu minus 1. Następnie patrzymy do góry (w tej samej linii pionowej co punkt -1). Gdy ta pionowa linia pokryje się z wykresem, na tej samej wysokości z osi y odczytujemy wartość funkcji dla argumentu minus 1.

Odczytujemy więc po prostu:

Odpowiedź: Wartość funkcji dla minus 1 to π.

zadanie 2
Oblicz wynik równania: .

Rozwiązanie zadania zaczynamy od zapisania:

Stąd wynika, że;
oraz oraz

Następnie zapisujemy równość z pierwszego równania, w którym po lewej stronie będzie kąt beta:

Ponadto:

Następnie podnosimy do kwadratu stronami:

oraz dodajemy stronami:

otrzymując:

mnożymy przez 3 stronami, aby pozbyć się ułamka w prawej stronie równania oraz dodajemy elementy po prawej stronie równania

dzielimy przez 4 oraz obustronnie pierwiastkujemy

Odpowiedź: