Arctg

Arctg- czytaj: arcus tangens – to odwrotność jednej z funkcji trygonometrycznych, czyli tangensa. W trójkącie prostokątnym, tangens to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta alfa, do przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa.

Zgodnie z oznaczeniem na powyższym rysunku, możemy to oznaczyć wzorem:

Arcus tangens to funkcja odwrotna do funkcji: , która jest określona w przedziale < >
Arcus tangens oznaczamy następującym wzorem:

Zapis ten oznacza, że: i < > W tym przedziale tangens jest funkcją rosnącą, co oznacza, że jest funkcją różnowartościową. Oznacza to, że ma funkcję odwrotną, która określona jest w zbiorze liczb , czyli obrazie powyższego przedziału przez funkcję tangens. Można zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej zapisać, że:

gdy
Arcus tangens jest funkcją rosnącą, której dziedziną jest , a przeciwdziedziną

Wykresem funkcji: , które parami są symetryczne względem prostej jest tangensoida, przedstawiona na poniższym rysunku:

Wykres funkcji arcus tangens zaznaczony jest kolorem niebieskim i jest odwrotnością do wykresu funkcji tangens, który zaznaczony jest kolorem czerwonym.
Poniżej wartości dla typowych miar kątów:

Arcus tangens, jak również pozostałe funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej, nazywane są funkcjami cyklometrycznymi albo funkcjami kołowymi, które ograniczone są do pewnych przedziałów.
Zapis oznacza, że jest miarą kąta, którego lub jest liczbą, której

Podstawowe związki pomiędzy funkcjami cyklometrycznymi dla naszego arcus tangens:

dla każdego

Argumenty ujemne:

Przykład:
Oblicz, ile wynosi arctg1.

Rozwiązanie: aby obliczyć ile wynosi arcus tangens należy obliczyć równanie trygonometryczne:
Oczywiście jest to równanie, które posiada nieskończenie wiele rozwiązań, ale należy pamiętać nie tylko o dziedzinie – czyli , ale również o przeciwdziedzinie, czyli przedziale < > . Mamy więc tylko jedno rozwiązanie:

Dodatkowe wyjaśnienie:
Równanie trygonometryczne to równanie, w którym niewiadome występują tylko pod znakami funkcji. Rozwiązanie polega na tym, aby doprowadzić je do równania elementarnego. W naszym przykładzie to równanie:
Jego rozwiązanie to: ,
Powyższe rozwiązanie najlepiej zilustruje wykres:

W naszym przykładzie musimy wyznaczyć wykres funkcji . Rysujemy układ współrzędnych gdzie oś jest osią poziomą, a oś osią pionową. Sporządzimy wykres funkcji ale ograniczymy się tylko do naszego przedziału: < >

Następnie należy dokonać obrotu w przestrzeni, aby otrzymać wykres funkcji: w tym samym układzie współrzędnych. Otrzymamy następujący wykres, z którego odczytujemy rozwiązanie:

Odpowiedź: arcus tangens 1 wynosi

Zadanie:
Oblicz, ile wynosi ( )?

Rozwiązanie: jak wiadomo arctg to funkcja odwrotna do funkcji tangens, a więc można sprowadzić to do odpowiedzi na pytanie, gdzie tangens równa się ? Wiadomo, że dla każdego jest nieskończenie wiele rozwiązań/odpowiedzi , ponieważ tangens jest funkcją okresową, więc dla naszego rozwiązania przyjmiemy przedział, który jest przeciwdziedziną . Następnie musimy znaleźć kąt alfa (w naszym przedziale) dla którego . A to obliczymy z okresowości funkcji:

Następnie obliczamy:

( ) ( ( ))

Odpowiedź: arcus tangens ( ) wynosi

Zadanie:
Oblicz, ile wynosi wartość następującego wyrażenia:
?

Rozwiązanie: celem ułatwienia sobie zapisu w trakcie obliczeń założymy, że:

Najpierw należy obliczyć oraz . Z definicji funkcji arctg wiemy, że kąt beta jest kątem ostrym i to ujmiemy w naszych wyliczeniach.
| ()2

Teraz możemy obliczyć sinus:

Odpowiedź: wartość obliczanego wyrażenia wynosi