Asymptota pozioma

Asymptota pozioma to prosta pozioma, do której zbliża się wartość funkcji gdy dąży do lub . Zapisuje się to za pomocą granicy:
– asymptota prawostronna, lub
– asymptota lewostronna.
Jest pomocna m.in. przy rysowaniu funkcji wymiernych.

Asymptota funkcji wymiernej
Asymptota funkcji wymiernej jest zawsze ta sama po lewej i prawej stronie. Aby ją znaleźć, należy porównać stopień wielomianu w jej liczniku oraz mianowniku. Mając funkcję w postaci:
( oraz są różne od ), jeśli:
– n < m, asymptota to ,
– n = m, asymptota to ,
– n > m, asymptota pozioma nie istnieje ( dąży do nieskończoności).
Dzieje się tak, ponieważ, gdy dąży do nieskończoności, jego mniejsze potęgi nie zmieniają wiele, nawet jeśli są pomnożone przez skończoną liczbę. Brane są więc pod uwagę tylko najwyższe potęgi w liczniku i mianowniku.
Dla przykładu niech . Asymptota pozioma tej funkcji to . Żeby ją obliczyć można skorzystać z podanego wyżej sposobu. Stopnie wielomianu w liczniku i mianowniku są równe , ponieważ w obu najwyższym wykładnikiem potęgi jest . W liczniku mamy , a w mianowniku (tj. ), dlatego szukana asymptota znajduje się na .

Gdy zbliża się do lub , zbliża się do .

Inne przykłady
Wyznacz asymptotę poziomą funkcji:
a)
b)
c)
d)

a) Asymptota to . Najwyższą potęgą w liczniku jest , a w mianowniku . Asymptotą więc jest .
b) Asymptota to . Stopniem wielomianu w liczniku jest , a w mianowniku , ponieważ . Z tego powodu asymptota pionowa nie istnieje dla tej funkcji.
c) Asymptota to . Stopień w liczniku i mianowniku jest równy , więc asymptota to (od ).
d) Asymptota to . Oba stopnie w liczniku i mianowniku to , więc asymptota to (od ).

Asymptota funkcji niewymiernej
W podobny sposób oblicza się asymptoty funkcji niewymiernych. Nie ma na to jednak z góry określonej reguły, dlatego można jedynie podać przykład.
Dana jest funkcja . Jej asymptotą prawostronną jest więc . Wiadomo, że jest to równe . Według reguły l’Hospitala, . Dzielenie skończonej stałej przez liczbę dążącą do nieskończoności zawsze daje (tak jak w przypadku funkcji wymiernych), więc asymptota prawostronna to .