Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej

Schemat badania monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej:
Obliczamy pochodną funkcji
Pochodną przyrównujemy do 0
Badamy dla jakich x pochodna jest ujemna, a dla jakich x jest dodatnia
Określamy monotoniczność funkcji

Zobaczmy jak to działa w praktyce:

Obliczamy pochodną f(x)

lub
Wartości x, które wyznaczyliśmy wskazują ekstrema funkcji f.
Zatem:
Na osi x zaznaczyłam nasze wyznaczone punkty. Teraz rysujemy wykres pomocniczy, zaczynając od prawej strony pod osią (dlatego, że współczynnik kierunkowy f'(x) jest ujemny (-6)) i przecinamy oś x w wyznaczonych miejscach.
dla pochodna przyjmuje wartości UJEMNE (), a z tego wynika, że funkcja f jest na tym przedziale MALEJĄCA. ()
dla pochodna przyjmuje wartości DODATNIE (), a stąd wynika, że funkcja f jest na tym przedziale ROSNĄCA. ()
dla pochodna przyjmuje wartości UJEMNE (), zatem funkcja jest znowu MALEJĄCA ()

Co więcej wyznaczyliśmy również ekstrema funkcji. Funkcja maleje do -1, potem rośnie od -1 do 1 i od 1 znowu maleje, zatem:
Funkcja f ma najmniejszą wartość dla , a dokładnie jest ona równa
a największą wartość dla i jest ona równa

Zapamiętaj!
Jeżeli pochodna funkcji f jest dodatnia na danym przedziale to funkcja f na tym przedziale rośnie.
Jeżeli pochodna funkcji f jest ujemna na danym przedziale to funkcja f na tym przedziale maleje.