Badanie przebiegu zmienności funkcji

Aby zbadać przebieg zmienności funkcji należy:
1. Wyznaczyć dziedzinę
2. Wyznaczamy punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych
3.Wyznaczyć granicę na krańcach dziedziny
4. Wyznaczyć asymptoty
5. Wyznaczyć przedział monotoniczności funkcji
6. Wyznaczamy ekstrema funkcji
7. Szkicujemy wykres funkcji

Twierdzenie: Jeśli funkcja w pewnym przedziale jest rosnąca i ma pochodną, to dla każdego
Twierdzenie: Jeśli funkcja w pewnym przedziale jest malejąca i ma pochodną, to dla każdego

Ćwiczenie 1
Zbadaj przebieg zmienności funkcji
a)
b) (przykład do wykonania samodzielnego)
c) (przykład do wykonania samodzielnego)
Rozwiązanie:
1) Dziedzina:
2) Punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych:
Oś OX:






Oś OY:



3) Granicę na krańcach dziedziny:


4) Asymptoty: Podana funkcja nie posiada asymptot
5) Określamy monotoniczności funkcji:
Krok 1 Wyznaczamy pochodną funkcji :

Krok 2 Określamy przedziały w których pochodna funkcji jest większa lub równa zero i zapisujemy wniosek

[ )

Wniosek: Funkcja jest rosnąca w przedziale [ )

Krok 3 Określamy przedziały w których pochodna funkcji jest mniejsza lub równa zero i zapisujemy wniosek

(]

Wniosek: Funkcja jest malejąca w przedziale ( ]
6) Ekstrema funkcji i punkty przegięcia:

Maximum: brak
Minimum:
Punktów przegięcia: brak

7) Szkic wykresu funkcji:

Ćwiczenie 1
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji
a)
b) (przykład do wykonania samodzielnego)

Rozwiązanie
1) Dziedzina:
2) Punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych:
Oś OX:

podane równanie posiada jedno rozwiązanie


OŚ OY:


3) Granicę na krańcach dziedziny:


4) Asymptoty: Podana funkcja nie posiada asymptot
5) Określamy monotoniczności funkcji:
Krok 1: Wyznacz pochodną funkcji:

Krok 2 Określamy przedziały w których pochodna funkcji jest większa lub równa zero i zapisujemy wniosek

dzielimy obustronnie przez 3

Wniosek: Funkcja jest rosnąca dla
6) Ekstrema funkcji i punkty przegięcia:

Maximum: brak
Minimum: brak

Punkt przegięcia:
7) Szkic wykresu funkcji: