Całki funkcji wymiernych

Dzisiejszym tematem opracowania są całki funkcji wymiernych. W zależności od tego, jaka jest postać funkcji wymiernej, całkę możemy obliczyć różnymi metodami.

Na początku zajmiemy się przypadkiem, gdzie funkcja wymierna stanowi ułamek prosty, składający się z wyrażenia w mianowniku oraz liczniku. Mówię tutaj o ułamku postaci: czy też postaci: . W takim przypadku możemy zastosować popularną metodę podstawiania. Przeanalizujmy tą metodę na podstawie przykładu:

Przykład 1 Oblicz:

Ponadto warto wspomnieć, że jeżeli mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem, w którym licznik, a raczej jego wyrażenie jest pochodną mianownika, to całkę tego ułamka będzie stanowić logarytm naturalny. Symbolicznie możemy to zapisać następująco:

Kolejnym punktem rozwiązywania całek funkcji wymiernych, jest całkowanie wyrażeń, które zawsze należy przekształcić do postaci po prawej stronie równania, a więc do postaci sumy ułamków prostych:

Przykład numer 2 Oblicz:
Na początku szukamy takich liczb A i B, aby: . Najpierw zajmujemy się prawą stroną równania i sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika, otrzymując tym samym zależność: . Na podstawie tej zależności możemy napisać układ równań, który pozwoli nam obliczyć wartość A i B.

A+B=0
-5A-B=1

A=-B ,tą zależność podstawiamy do drugiego równania w miejsce A
5B-B=1

A=
B=

Otrzymane liczby podstawiamy do wzoru ogólnego zaznaczonego na blado-pomarańczowo kilka linijek wyżej. Tym samym z łatwością możemy obliczyć całkę:

Podsumowując, mam nadzieję, że w sposób przystępny wytłumaczyłam sposób obliczania całek funkcji wymiernych.