Całki nieoznaczone

Całki nieoznaczone

Aby dobrze zrozumieć na czym polegają całki nieoznaczone trzeba wiedzieć, czym jest pochodna. Pochodna to funkcja, która określa przyrost wartości(wartość w funkcjach to współrzędna y na wykresie funkcji) funkcji. Oznacza to, że opisuje ona jak zwiększa się (lub zmniejsza) współrzędna y funkcji dla następnych argumentów(argument to współrzędna x na wykresie funkcji). Pokażę to na wykresie funkcji kwadratowej.

Widać wyraźnie, że dla ujemnych argumentów wartość spada, a dla dodatnich rośnie. Z tego wynika, że pochodna funkcji f(x), którą będziemy oznaczać f'(x), musi być taka, że dla ujemnych argumentów jest ona ujemna, a dla dodatnich dodatnia. Ale dlaczego? Powtórzę swoje słowa: pochodna określa, jak jakaś wartość funkcji rośnie. Gdy wartość maleje, to możemy powiedzieć, że ona „rośnie ujemnie”, dlatego pochodna powinna być ujemna dla ujemnych argumentów, a dodatnia dla dodatnich argumentów. Widać też, że wartości nie zmieniają się równomiernie. Do określenia pochodnej używa się wzoru: (ax^n) = anx^n-1 + c. Ale po co to „c”? c to dowolna liczba stała. Gdy mamy wykres funkcji stałej, np. f(x)= 7 To wartość się nie zmienia, więc pochodna będzie się równała 0. Pochodna powyższej funkcji będzie wiec wynosiła 2x + c, (x^2)’ = 2x^2-1 + c = 2x + c.

Teraz przejdę do całek nieoznaczonych. Aby obliczyć całkę nieoznaczoną to musimy „odwrócić działanie pochodnej”. Wzór na obliczanie całek nieoznaczonych(n ≠ -1) to: ∫ ax^n dx= a * 1/n+1 * x^n+1 + c. (do całki nieoznaczonej zawsze dopisujemy dx)Zobaczmy na wzór na pochodną powyżej. Gdyby potęga liczby x byłaby oznaczona literą n po prawej stronie to po lewej wynosiłaby n+1. Aby pozbyć się samej liczby n+1 przez którą mnożymy możemy przez nią podzielić, czyli pomnożyć przez jej odwrotność(skoro to mnożenie, musimy sprawić, żeby była liczbą 1). Z tego właśnie wzięło się 1/n+1. Obliczmy całkę funkcji, którą pokazałem wcześniej.
∫x^2 dx= 1/2+1 * x^2+1 = 1/3 * x^3 +c
Teraz zobaczmy czy pochodna z 1/3 * x^3 jest równa x^2 +c
(1/3* x^3)’ = 1/3 * 3 * x^3-1 +c = 1 * x^2 = x^2 + c
Działa.
Jest jeszcze inny wzór:
∫1/x dx = ln|x| + c
ln to logarytm naturalny, czyli logarytm liczby e (e = 2,71…).
Teraz podam trudniejsze zadanie.
∫(x^3 + x^7)/x^4 dx= ?
Aby obliczyć tę całkę nieoznaczoną musimy je rozbić je na 2 całki.
∫(x^3 + x^7)/x^4 dx= (∫x^3/x^4 dx)+ (∫x^7/x^4 dx)= (∫1/x dx) + (∫x^3 dx) = ln|x| + (1/3+1 * x^3+1) +c= ln|x| + 1/4 * x^4 +c= ln|x| + x^4/4 +c

To wszystko, co chciałem przedstawić o całkach nieoznaczonych. Bardzo dziękuję za uwagę.