Całki niewłaściwe

Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju.

Określone są na nieograniczonym przedziale całkowania. Mogą być liczone na przedziałach: (>, <) lub , gdzie a jest dowolną liczbę rzeczywistą. Liczymy je jako granicę całki oznaczonej:

podobnie:
,

a w przedziale całkę nieoznaczoną liczymy jako sumę całek nieoznaczonych w przedziałach (>, <) gdzie b jest dowolną liczbą rzeczywistą:

Całka nieoznaczona może być:
–zbieżna, gdy granicą całki oznaczonej, która ją definiuje jest dowolna liczba
–rozbieżna do – lub do +,
–rozbieżna – w przypadku gdy nie można określić granicy.

Zbieżność całki zależy od zbieżności całek składowych i tu mamy następujące zależności:

Przykład:

Oblicz całkę niewłaściwą
Jest to granica
Obliczą najpierw całkę
=

Teraz obliczam granicę:

=

Wynikiem jest . Całka ta jest zbieżna.

Całki niewłaściwe drugiego rodzaju:

Całka niewłaściwa drugiego rodzaju to całka funkcji nieograniczonej w przedziale ograniczonym [c,d]
Definiujemy ją jako granicę: