Całki oznaczone

CAŁKI OZNACZONE —> SPRYTNE PODEJŚCIE

Gdy mówimy o całkach oznaczonych funkcji f(x), to mówimy o całkach, które są oznaczone w konkretnym przedziale < a, b >. Ten przedział nazywamy przedziałem całkowania.

Różnicę funkcji F(b) oraz F(a) przedstawiamy jako:

W takim wypadku całkę możemy interpretować jako pole pod wykresem danej funkcji na zadanym przedziale. Innymi słowy, gdy krzywa o równaniu y=f(x), oś OX oraz proste x = a oraz x = b ograniczają pole, to mamy do czynienia z polem obszaru, jakim jest .

Każdorazowo pole obszaru możemy wyrazić poniższą całką oznaczoną:


W takim wypadku przejdźmy do konkretnych przykładów.

Pokażę Ci kilka przykładów. Za każdym razem będziemy mieli całkę oznaczoną. Ja jednak zaprezentuję Ci dużo łatwiejszy sposób rozwiązania tych całek, bez konieczności wyznaczania funkcji pierwotnej. Te wyznaczanie funkcji jest dosyć pracochłonne, a myślę, że poniższy sposób okaże się dla ciebie dużo bardziej korzystny.

zadanie 1
Oblicz całkę

Rozwiązując te zadanie możemy postąpić troszkę sprytniej. Zamiast obliczać całkę nieoznaczoną z tego wyrażenia, możemy spróbować zastanowić się jak będzie wyglądać wykres w określonym przedziale.

Powyżej pokazuję przybliżony wykres. Następnie przesuwamy ten wykres o dwie jednostki w prawo.

Musimy obliczyć całkę z przedziału od 1 do 3, więc zaznaczamy te argumenty na osi x. Jak widzisz, przecięcie funkcji z osią x następuje dla argumentu 2. W przedziale od 1 do 2 pole znajduje się pod osią x. Jest ono ujemne. Te same pole znajdujące się nad osią x jest w przedziale od 2 do 3. Zaznaczamy te obszary na naszym rysunku. Jeśli jedno pole jest ujemne, a drugie ma tę samą wartość tyle, że dodatnią to…?

W takim razie, nasza całka równa się zero. Nasz wykres jest nieparzysty względem prostej o wzorze x = 2. Tym samym możemy powiedzieć, że wykres naszej funkcji jest symetryczny względem miejsca zerowego.

zadanie 2
Oblicz całkę

Aby rozwiązać tę całkę również narysujmy wykres. Zacznijmy od naszkicowania funkcji cosinus. Ta funkcja jest symetryczna względem prostej o równaniu x=π. Ta prosta, a w zasadzie jej punkt przecięcia z osią x stanowi też środek środek naszego przedziału od 0 do 2pi.

Na tym samym rysunku dorysujmy jeszcze przybliżony wykres funkcji x – pi do potęgi trzeciej. Ten wykres jest bardzo podobny do tego, co w zadaniu 1. Tyle tylko, że miejsce zerowe to (, 0). Ta funkcja jest więc symetryczna względem wypisanego punktu.

W związku z tym, kolejny raz otrzymujemy z jednej strony te samo pole dodatnie, a z drugiej strony ujemne. Nasza całka jest zatem kolejny raz równa 0.

Oczywiście, możemy się również spotkać z innym sposobem rozwiązania całki oznaczonej. Najczęściej pewnie będziesz się spotykać z obliczaniem całek oznaczonych poprzez podstawienie. Jest to stosunkowo prosta metoda. Spróbujmy rozwiązać przykładowe zadanie tym sposobem.

zadanie 3
Oblicz całkę oznaczoną: (*)

Rozwiązanie zadanie zaczynamy od „urwania” całki oznaczonej, a więc pozbywamy się chwilowo tego określonego przedziału. Liczmy więc całkę nieoznaczoną.

Następnie piszemy dwie „kreski”.
Coś w ten deseń. W tej części będziemy zastępować część związku z x na literkę t. Dążymy do tego, aby całe t zawierało wszystkie x-ksy. Zapisujemy poniższy związek. W związku z tym, że program nie pozwala mi wpisać tych dłuższych kresek, ja załączę grafikę.

W tym momencie wyrażenie pod pierwiastkiem w mianowniku staje się zmienną t, a licznik wraz z wyrażeniem dx staje się wyrażeniem dt. Otrzymujemy:
Oczywiście, te dt mogliśmy wrzucić do licznika. Przechodzimy do takiej postaci, aby móc użyć elementarny wzór na całkę. U nas „n”, to minus pół.

Wykonując ostatnią operację, pamiętaj o zasadzie maksymalnego cofania się. Na końcu wróćmy z naszym podstawieniem.

Teraz wróć jeszcze raz do początkowej całki zaznaczonej na fioletowo. Nasz ostatni otrzymany wynik zapisujemy w nawiasie kwadratowym, pamiętając o dopisaniu określonego przedziału.

(*)= =

Zwróć szczególną uwagę na rachunki na liczbach!!!!

=

To jest nasz wynik końcowy. Przydała nam się znajomość wartości funkcji trygonometrycznych, oraz podstawowa znajomość wzorów elementarnych.

Pamiętaj, że w innych zadaniach może być jednak troszkę trudniej, i nie będziesz w stanie skorzystać z tego pola, bądź też jego obliczenie będzie bardzo trudne. W takim wypadku, najlepiej jest zastosować metodę podstawiania.