Całki powierzchniowe

Całka powierzchniowa:

Załóżmy że to płat powierzchniowy, który wyznacza równanie: , gdzie oraz obszar to rzut płata na płaszczyznę (rysunek poniżej)

Dla punktów określmy funkcję . Podzielmy płat na części (dostając podobszarów tak by ich suma : ) i utwórzmy sumę:
gdzie punkt to punkt, który należy do obszaru . Jeżeli istnieje granica
to ta graca nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną funkcji po płacie powierzchniowym i oznaczamy ją w następująco:
Jeżeli funkcja jest funkcją ciągłą i płat powierzchniowy jest gładki, to:

Przykład: Obliczmy całkę powierzchniową po górnej połówce sfery: .

Rozwiązanie:

stąd;


czyli

wyznaczamy pochodne:


stąd:

Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

to rzut górnej połówce sfery jest kręgiem o równaniu całkując biegunowo otrzymujemy: