Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne jest metodą numeryczną, która polega na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Szczególności w odniesieniu do całek jednomiarowych całkowanie numeryczne można nazwać kwadraturą numeryczną lub po prostu kwadraturą. Dwuwymiarowe oraz wielowymiarowe całkowania mają inną nazwę – kubatury – mimo że kwadraturą nazywa się też całkowanie w wyższych wymiarach. Metody całkowania numerycznego polegają na tym, aby przybliżyć całki przy pomocy odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. W celu uzyskania dokładniejszych przybliżeń dzieli się przedział całkowania na wiele mniejszych fragmentów. Ostateczny wynik to suma oszacowań całek w danych podprzedziałach. Prawie zawsze przedział taki dzieli się na takie same podprzedziały, lecz bardziej dokładne algorytmy dostosowują krok do szybkości zmienności funkcji.

Wyróżnia się kilka metod kwadraturowych. Są nimi: metoda prostokątów, metoda trapezów, metoda parabol lub Simpsona, metoda Gaussa oraz metody losowe. Oto przykład przy użyciu metody prostokątów.
Spróbuj scałkować funkcję na przedziale od 0 do 1. Da się ją scałkować analitycznie, więc zna się dokładny wynik, a poza tym łatwo da się obliczać błąd przybliżenia różnych metod całkowania. Jeśli uwzględni się wynik do 10 miejsc po przecinku, to prawdziwy wynik to:
Natomiast całkowanie numeryczne z użyciem zasady punktu środkowego da wynik:

który daje błąd 0,0361115771 (czyli błąd względny 4,3%). Jest on dość mały jak na tą prostą metodę, lecz pamiętajmy, że jest niezadawalający do większości zastosowań. Jeśli chce się otrzymać dokładniejsze przybliżenie można podzielić przedział całkowania w taki sposób:

Wtedy jest z błędem bezwzględnym wynoszącym 0,0088296604 lub względnym – 1%.