Całkowanie przez części

Całkowanie przez części to jedna z metod całkowania opierająca się na zastosowaniu poniższych wzorów:

Wzór nr. 1:

Wzór nr. 2:

Uwaga: Aby móc stosować powyższe wzory funkcja powinny mieć ciągłe pochodne

Poniżej przedstawimy kilka przykładów zastosowania powyższych wzorów oraz zadania wraz z rozwiązaniami w których pomocne okazuje się zastosowanie całkowania przez części w celu wyznaczenia wartości całek nieoznaczonych.

Przykład 1: Wyznacz wartość całki nieoznaczonej: korzystając ze wzoru 1 przyjmując że oraz że
Rozwiązanie:
Jeśli: to:
Jeśli: to:
Stąd podstawiając do wzoru 1: dostajemy:

Uwaga: W powyższym przykładzie został wykorzystany wzór gdzie – to stała różna od zera.

Przykład 2: Wyznacz wartość całki nieoznaczonej: korzystając z wzoru nr 1 oraz przyjmując że oraz że .

Rozwiązanie:
Jeśli: to:
Jeśli: to:

Stąd podstawiając do wzoru 1: dostajemy:

(gdzie stała).

Uwaga: Wartość całki nieoznaczonej możemy wyznaczyć również nie korzystając z powyższego wzoru. Sposób jej wyznaczenia został podany poniżej:

(gdzie stała).

Przykład 3: Wyznacz wartość całki nieoznaczonej: korzystając z wzoru nr 2 przyjmując że oraz że .

Rozwiązanie:
Jeśli: to:
Jeśli: to:

Stąd podstawiając do wzoru 2: dostajemy:

(gdzie stała).

Uwaga: Wartość całki nieoznaczonej możemy wyznaczyć również nie korzystając całkowania przez części. Inny sposób jej wyznaczenia został podany poniżej:

(gdzie stała).

Przykład 4: Wyznacz wartość całki nieoznaczonej: korzystając z wzoru nr 1 przyjmując że oraz że .

Rozwiązanie:
Jeśli: to:
Jeśli: to:

Stąd podstawiając do wzoru 1: dostajemy:

(gdzie stała).

Zadanie 1: Wyznacz wartość całki nieoznaczonej:

Rozwiązanie:
Jeśli: to:
Jeśli: to:

Stąd podstawiając do wzoru nr. 1: dostajemy:

Zadanie 2 Wyznacz wartość całki nieoznaczonej: .

Rozwiązanie:
Jeśli: to:
Jeśli: to:

Stąd podstawiając do wzoru nr. 1: dostajemy:

Zadanie 3: Wyznacz wartość całki nieoznaczonej: .

Rozwiązanie:
Jeśli: to:
Jeśli: to:

Stąd całkę możemy przedstawić w poniższej postaci:

Jeśli teraz skorzystamy z uzyskanej wartości z zadania drugiego otrzymujemy, że:

Uwaga: Przykład z zadania trzeciego jest przykładem w którym możemy zauważyć że istnieją przykłady w których przy wyznaczaniu wartości całki nieoznaczonej (lub całki oznaczonej) możemy wykorzystać wielokrotnie zasadę całkowanie przez części.

ZADANIA DO PRACY WŁASNEJ

Zadanie 4: Wyznacz wartość całki nieoznaczonej:

Odpowiedź:

Zadanie 5: Wyznacz wartość całki nieoznaczonej:

Odpowiedź: