Całkowanie przez podstawienie

Jednym ze sposobów obliczania całek jest całkowanie przez części. Jest to dosyć prosty sposób. Wystarczy zapamiętać jeden prosty schemat.

Gdy mamy funkcję możliwą do zapisania w tej postaci:

,

Ponadto gdy istnieje ciągła pochodna funkcji h(x), to następuje równość:

Powyższy schemat wynika z poniższego podstawienia. Te podstawienie możemy wykonywać w równaniu, jak i możemy wykonać je gdzieś z boku np. na marginesie.

Gdy uda ci się zapamiętać ten schemat, nie będziesz już spotykać problemów z rozwiązywaniem czy też obliczaniem całek, które możemy obliczyć poprzez podstawianie. Metoda ta jest dosyć uniwersalna, dlatego też szczególnie zwracaj uwagę na to, czy przypadkiem nie popełniasz gdzieś prostego błędu rachunkowego.

Rozwiążmy zadanie, aby zastosować powyższą wiedzę teoretyczną.

zadanie 1
Wylicz całkę postaci: .

W związku z tym, że chce opisać krok po kroku jaką operację wykonuję, będę każde przejście z jednej postaci całki do drugiej oddzielać komentarzem. Jeśli jednak rozwiązujemy takie zadanie to po prostu wszystko piszemy po kolei łącząc to znakiem równości.

Rozwiązanie zadania zaczynamy od wyciągnięcia przed całkę stałą (dwójkę).

Skoro chcemy policzyć całkę z funkcji złożonej, to skorzystajmy z metody podstawiania. Rysujemy klamerkę, bądź też na marginesie wykonujemy podstawienie w linii naszego równania. Załóżmy, że u nas t będzie równe 4x. W takim wypadku musimy policzyć pochodną z t, a więc musimy zróżniczkować równanie stronami. W związku z tym, że w programie mam ciężkość z wprowadzeniem dłuższej prostej kreski, dlatego też te kreski nie są ze sobą połączone. W praktyce powinno to wyglądać mniej więc tak:

t = 4x
dt = 4dx
dt = dx

Teraz wykonajmy podstawienie

Kolejny raz stałą liczbę wyciągamy przed całkę.

Całka z sinusa to minus cosinus. Wynika to z tego, że pochodna z cosinusa jest to minus sinus, więc pochodna z minus cosinusa to plus sinus. Korzystamy tutaj z podstawowego wzoru całkowego, więc pamiętamy o dodaniu C. Otrzymujemy:

Wracamy teraz do naszych podstawowych zmiennych, a więc z t przechodzimy znów na x.

Powyżej mamy zapisaną obliczoną całkę.