Ciąg

Czym jest ciąg?

W matematyce ciągiem określamy zbiór liczb, ułożonych w konkretnej kolejności. Ciągiem może być na przykład zbiór liczb naturalnych, w którym pierwszym wyrazem ciągu jest 0, a różnica tego ciągu wynosi 1, co oznacza, że aby utworzyć kolejny wyraz należy do poprzedniego dodać 1. Ciąg może być skończony, to znaczy posiadający określoną ilość wyrazów ciągu lub nieskończony, czyli posiadający nieskończenie wiele wyrazów.

Oznaczenia

to suma początkowych wyrazów ciągu
to dowolny wyraz ciągu
to pierwszy wyraz ciągu (n nie może być mniejsze lub równe zero)
to stała różnica ciągu arytmetycznego
to stały iloczyn ciągu geometrycznego

Rodzaje ciągów

Ciągiem arytmetycznym określamy taki ciąg liczb, w którym każdy kolejny wyraz można utworzyć poprzez dodanie do poprzedzającego go wyrazu stałej różnicy ciągu oznaczonej literą r.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego można wyznaczyć następującym wzorem:

Można również odliczyć sumę wyrazów ciągu arytmetycznego według wzoru:

Między sąsiednimi wyrazami ciągu zachodzi również zależność, według której wyraz an jest określony przez średnią arytmetyczną dwóch wyrazów: poprzedzającego go oraz następującego po nim.

dla

Ciągiem geometrycznym określamy ciąg liczb, w którym każdy wyraz powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu razy iloczyn q o stałej wartości.

Za pomocą poniższego wzoru można wyznaczyć n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

dla

Sumę początkowych wyrazów ciągu można obliczyć stosując wzór:

dla nierówniego 1

lub

dla równego jeden

Ćwiczenia

Ćwiczenie pierwsze

Wyjaśnienie: W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz mynosi 3, a różnica r tego ciągu jest równa 4. Oblicz wartość czwartego wyrazu tego ciągu.

=3
=4
=?

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Odpowiedź: Czwarty wyraz tego ciągu przyjmuje wartość 15.

Ćwiczenie drugie

W ciągu geometrycznym iloczyn wynosi 2, a pierwszy wyraz tego ciągu przyjmuje wartość 5. Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Wyjaśnienie: Aby obliczyć sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu musimy skorzystać ze wzoru:

, czyli:

Odpowiedź: Suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu geometrycznego jest równa 155.