Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się co to jest ciąg arytmetyczny oraz czym się charakteryzuje. Poznasz wiele ciekawych i przydatnych własności tego ciągu. Nauczysz się także wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Nabyte umiejętności przećwiczysz na wielu przykładach.

Ciąg arytmetyczny:
Jest to szczególny rodzaj ciągu liczbowego, w którym kolejne wyrazy (oprócz wyrazu pierwszego) powstają przez dodanie pewnej stałej wartości „r” do wyrazu poprzedniego. Można to zapisać następującym wzorem:
an+1 = an + r
gdzie:
– „n” to dowolna liczba naturalna dodatnia,
– „r” to tzw. różnica ciągu arytmetycznego,
– „an+1” to pewien wyraz ciągu arytmetycznego,
– „an” to wyraz ciągu arytmetycznego, poprzedzający wyraz „an+1„.
A zatem wyraz ciągu arytmetycznego „an+1” powstaje przez dodanie wartości „r” (różnicy ciągu arytmetycznego) do wyrazu poprzedniego „an„.
Przykładem ciągu arytmetycznego jest choćby zbiór liczb naturalnych, czyli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, … , ponieważ każda kolejna liczba naturalna (z wyjątkiem zera) powstaje przez dodanie jedynki do liczby poprzedniej. Więc w tym przypadku r = 1.

Przykład 1:
Określ różnicę „r” podanego ciągu arytmetycznego:
a) 3, 6, 9, …
b) 13 ; 15,5 ; 18 ; …
c) 5, 2, (-1), …

a) Skoro liczby 3, 6 i 9 tworzą ciąg arytmetyczny to znaczy, że kolejne wyrazy ciągu powstają przez dodanie „r” do wyrazu poprzedniego, czyli 3 + r = 6 , a także 6 + r = 9. A zatem różnica podanego ciągu arytmetycznego wynosi 3, czyli r = 3 (bo 3 + 3 = 6 oraz 6 + 3 = 9).

b) Liczby 13 ; 15,5 oraz 18 tworzą ciąg arytmetyczny, czyli prawdziwa jest równość: 13 + r = 15,5 , a także 15,5 + r = 18. A zatem różnica podanego ciągu arytmetycznego wynosi 2,5 , czyli r = 2,5 (bo 13 + 2,5 = 15,5 oraz 15,5 + 2,5 = 18).

c) Liczby 5, 2 oraz (-1) tworzą ciąg arytmetyczny, czyli prawdą jest, że: 5 + r = 2 , a także 2 + r = (-1). A zatem różnica podanego ciągu arytmetycznego musi wynosić (-3), czyli r = (-3) (bo 5 + (-3) = 2 oraz 2 + (-3) = (-1)).

(Ogólnie różnicę ciągu arytmetycznego można obliczyć odejmując od dowolnego wyrazu ciągu wyraz go poprzedzający, czyli r = an+1 – an , tym sposobem w przykładzie a) r = 6 – 3 = 3, w przykładzie b) r = 15,5 – 13 = 2,5 , a w przykładzie c) r = 2 – 5 = (-3))

Jak można zauważyć na powyższych przykładach ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r > 0; a malejący, gdy r < 0. Gdy ciąg arytmetyczny nie jest ani rosnący ani nie jest malejący, czyli gdy r = 0, to wtedy taki ciąg nazywany jest ciągiem stałym (przykładem ciągu stałego jest: 5, 5, 5, 5, 5, ...). Przykład 2:
Oblicz piąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeśli pierwszy wyraz tego ciągu wynosi 2 (a1 = 2), a różnica tego ciągu wynosi 7 (r = 7).

Aby poznać piąty wyraz ciągu arytmetycznego musimy wiedzieć ile wynoszą wyrazy poprzednie (korzystamy z własności an+1 = an + r):
a1 = 2
a2 = 2 + 7 = 9 (a2 = 2 + 1 7 = 9)
a3 = 9 + 7 = 16 (a3 = 2 + 2 7 = 16)
a4 = 16 + 7 = 23 (a4 = 2 + 3 7 = 23)
a5 = 23 + 7 = 30 (a5 = 2 + 4 7 = 30)
A zatem piąty wyraz podanego ciągu arytmetycznego wynosi 30.

Jak możemy zauważyć na powyższym przykładzie (a konkretnie analizując zapiski w nawiasach) dowolny wyraz ciągu arytmetycznego (an) możemy otrzymać dodając do siebie pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (a1) i iloczyn (n – 1) r. A zatem wzór ogólny ciągu arytmetycznego będzie miał wówczas postać:
an = a1 + (n – 1) r
gdzie:
– „n” to dowolna liczba naturalna dodatnia,
– „r” to różnica ciągu arytmetycznego,
– „a1” to pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
– „an” to wyraz ciągu arytmetycznego, który chcemy obliczyć.
Czyli mając podany pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę jesteśmy w stanie policzyć dowolny wyraz tego ciągu.

Przykład 3:
Oblicz dwunasty wyraz podanego ciągu arytmetycznego:
a) 5, 13, 21, 29, …
b) 7; 10,25 ; 13,5 ; 16,75 ; …
c) 8, 3, (-2), (-7), …

a) Żeby obliczyć dwunasty wyraz ciągu (a12) skorzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego, czyli an = a1 + (n – 1) r. Chcąc policzyć dwunasty wyraz ciągu z tego wzoru musimy natomiast wiedzieć ile wynosi pierwszy wyraz (a1) oraz ile wynosi różnica ciągu arytmetycznego. Pierwszym wyrazem ciągu: 5, 13, 21, 29, … jest oczywiście 5 (a1 = 5), a różnicę tego ciągu obliczymy odejmując od dowolnego wyrazu ciągu wyraz go poprzedzający, czyli: r = 13 – 5 = 8. Znając już a1 oraz r możemy się zabrać za obliczenie dwunastego wyrazu naszego ciągu arytmetycznego (podkładając obliczone wartości a1 oraz r do wzoru ogólnego):
a12 = a1 + (12 – 1) r = 5 + (12 – 1) 8 = 5 + 11 8 = 5 + 88 = 93.
A zatem dwunasty wyraz tego ciągu arytmetycznego to 12.

b) Żeby obliczyć dwunasty wyraz podanego ciągu arytmetycznego (a12) znów skorzystamy ze wzoru ogólnego (an = a1 + (n – 1) r). Pierwszym wyrazem ciągu: 7; 10,25 ; 13,5 ; 16,75 ; … jest oczywiście 7, czyli a1 = 7. Różnicę tego ciągu obliczymy odejmując od dowolnego wyrazu ciągu wyraz go poprzedzający, czyli: r = 10,25 – 7 = 3,25. Znając już a1 oraz r możemy się zabrać za obliczenie dwunastego wyrazu naszego ciągu arytmetycznego (podkładając obliczone wartości a1 oraz r do wzoru ogólnego):
a12 = a1 + (12 – 1) r = 7 + (12 – 1) 3,25 = 7 + 11 3,25 = 7 + 35,75 = 42,75.
A zatem dwunasty wyraz tego ciągu arytmetycznego wynosi 42,75.

c) Obliczamy dwunasty wyraz podanego ciągu arytmetycznego (a12) korzystając ze wzoru ogólnego (an = a1 + (n – 1) r). Pierwszym wyrazem ciągu: 8, 3, (-2), (-7), … jest oczywiście 8, czyli a1 = 8. Różnicę tego ciągu obliczymy odejmując od dowolnego wyrazu ciągu wyraz go poprzedzający, czyli: r = 3 – 8 = (-5). Znając już a1 oraz r możemy się zabrać za obliczenie dwunastego wyrazu naszego ciągu arytmetycznego:
a12 = a1 + (12 – 1) r = 8 + (12 – 1) (-5) = 8 + 11 (-5) = 8 + (-55) = 8 – 55 = (-47).
A zatem dwunasty wyraz tego ciągu arytmetycznego jest równy (-47).

Własność ciągu arytmetycznego:
Ciekawą, a zarazem przydatną własnością ciągu arytmetycznego jest to iż każdy jego wyraz (z wyjątkiem pierwszego) jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów sąsiednich, czyli prawdziwa jest równość:
an =
gdzie:
– „n” to dowolna liczba naturalna dodatnia (większa od 1),
– „an” to określony (nie pierwszy) wyraz ciągu arytmetycznego,
– „an+1” oraz „an+1” to wyrazy ciągu arytmetycznego, sąsiadujące z wyrazem „an„.
np. Mamy obliczyć wartość „x”, wiedząc że liczby: 2, x, 32, tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy prawdziwa jest równość:
x = = = 17. A zatem „x” jest równe 17.

Przykład 4:
Oblicz wartość „x”, jeżeli podane niżej liczby tworzą ciąg arytmetyczny:
a) 13, x, 43
b) 5, x, (-17)
c) , x,

a) Wiemy, że liczby: 13, x, 43 tworzą ciąg arytmetyczny. Wiemy również, że każdy wyraz ciągu arytmetycznego (z wyjątkiem pierwszego) jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów sąsiednich. Czyli prawdziwa będzie równość: x = . Obliczamy wartość „x”:
x = = = 28.
A zatem „x” wynosi 28.

b) Wiemy, że liczby: 5, x, (-17) tworzą ciąg arytmetyczny. Korzystamy z poznanej własności () i obliczamy wartość „x”:
x = = = (-6).
A zatem „x” jest równe (-6).

c) Liczby: , x, tworzą ciąg arytmetyczny. Korzystamy z poznanej własności () i obliczamy wartość „x”:
x = = = = = .
A zatem „x” wynosi .

Przykład 5:
Oblicz wartość „x” i „y”, jeżeli liczby: 3, x, y, 45 tworzą ciąg arytmetyczny:

Korzystając z poznanej własności () układamy dwa równania: x = oraz y = . Teraz podkładamy wyrażenie opisujące „y” z drugiego równania za „y” z pierwszego równania:

x = (Rozwiązujemy równanie zaczynając od uproszczenia prawej strony)
x =
x =
x =
x =
x = (Mnożymy obustronnie razy 4)
4x = x + 51 (Odejmujemy „x” od obu stron równania)
3x = 51 (Dzielimy obustronnie przez 3)
x = 17
Mając obliczoną wartość „x” możemy się zabrać za liczenie „y”:
= = = 31
A zatem obliczone wartości „x” i „y” wynoszą odpowiednio 17 i 31.

Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
Czasem możemy się spotkać się z takim zadaniem, w którym będziemy musieli policzyć sumę kilku początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Jeśli dany ciąg arytmetyczny ma tylko trzy wyrazy uporamy się z tym bardzo szybko. Co jednak jeśli wyrazów będzie więcej np. sto? Czy wtedy też mamy liczyć każdy wyraz z osobna, a potem dodać do siebie wszystkie wyrazy ciągu? Otóż nie koniecznie, ponieważ w takim przypadku z pomocą przychodzi nam niezawodny wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, który ma postać:
Sn =
gdzie:
– „Sn” to suma „n” początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,
– „a1” to pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
– „an” to ostatni wyraz ciągu arytmetycznego,
– „n” to dowolna liczba naturalna dodatnia (oznaczająca liczbę wyrazów ciągu).
A zatem, aby policzyć sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego musimy znać wartość wyrazu pierwszego, wartość wyrazu ostatniego oraz ilość wyrazów ciągu, które chcemy ze sobą dodać.

Przykład 6:
Oblicz sumę 20 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, jeśli:
a) a1 = 3 i a20 = 97
b) a1 = 42 i a20 = (-320)

a) Mamy podany pierwszy oraz ostatni (tj. dwudziesty) wyraz ciągu arytmetycznego, czyli a1 = 3 i a20 = 97. Mamy obliczyć sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu (S20), czyli n = 20. Korzystamy z poznanego wyżej wzoru i obliczamy S20:
S20 = = = = = 1000.
A zatem suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu to 1000.

b) Mamy podane a1 = 42 oraz a20 = (-320). Obliczamy sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu (S20, czyli n = 20), korzystając z poznanego wyżej wzoru:
S20 = = = = = (-2780).
A zatem suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu to (-2780).

Przykład 7:
Oblicz sumę 35 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, jeśli pierwszy wyraz tego ciągu wynosi 11, a różnica tego ciągu arytmetycznego wynosi 6.

Mamy podany pierwszy wyraz ciągu (a1 = 11) oraz jego różnicę (r = 6). Chcąc policzyć sumę 35 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (S35) musimy wiedzieć ile wynosi trzydziesty piąty wyraz ciągu arytmetycznego. Aby obliczyć a35 korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego (an = a1 + (n – 1) r):
a35 = 11 + (35 – 1) 6 = 11 + 34 6 = 11 + 204 = 215.
Mając już obliczony trzydziesty piąty wyraz ciągu arytmetycznego możemy policzyć sumę 35 początkowych wyrazów tego ciągu:
S35 = = = = = 3955.
A zatem suma trzydziestu pięciu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 3955.

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się co to jest ciąg arytmetyczny oraz czym się charakteryzuje. Poznałeś wiele ciekawych i przydatnych własności tego ciągu. Nauczyłeś się także wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Nabyte umiejętności przećwiczyłeś również na wielu przykładach.