Ciąg geometryczny

W podanym opracowaniu możesz odnaleźć informację dotyczące ciągu geometrycznego. Analizując treść znajdziesz tu liczne przykłady ćwiczeń wraz z rozwiązaniami. Opracowanie zawiera również zadania dotyczące ciągu geometrycznego i rozwiązania tych zadań maturalnych które pojawiły się na maturze w latach od 2015 do 2021 (czyli na maturze w nowej formule).

Ciąg geometryczny to taki ciąg liczbowy w którym każdy kolejny wyraz zaczynając od wyrazu drugiego powstaje przez pomnożenie poprzednika przez daną liczbę którą nazywamy ilorazem.

Powstawanie kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego przedstawia schemat:

gdzie:
to pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
to iloraz ciągu geometrycznego.

Przykłady ciągów geometrycznych:
a)
Uwaga: Każdy ciąg stały jest ciągiem geometrycznym
b)
c)
d)

Na mocy powyższej definicji ciągu geometrycznego możemy łatwo stwierdzić że wzór ogólny ciągu geometrycznego to:

Ćwiczenie: Wyznacz n-ty wyraz ciągu geometrycznego jeśli:

Rozwiązanie:

b)
Rozwiązanie:

c)
Rozwiązanie:

Jeśli w zadaniu polega na wyznaczeniu pierwszego wyrazu ciągu oraz zostały w nim podane: dowolny wyraz ciągu oraz jego iloraz to możemy w nim skorzystać z poniższego wzoru:

Ćwiczenie: Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jeśli:

a)
Rozwiązanie:

b)
Rozwiązanie:

c)
Rozwiązanie:

Jeśli w zadaniu zostały podane dwa wyrazy ciągu oraz
to iloraz możemy wyznaczyć ze wzoru:
to iloraz możemy wyznaczyć ze wzoru:

Ćwiczenie: Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego jeśli:

Rozwiązanie:

b)
Rozwiązanie:

c)
Rozwiązanie:

d)
Rozwiązanie:

e)
Rozwiązanie:

Rozwiązanie:

g)
Rozwiązanie:

Suma ciągu geometrycznego:

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie i ilorazie wyznaczamy ze wzoru:

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie i ilorazie wyznaczamy ze wzoru:

Ćwiczenie: Jeśli w ciągu geometrycznym a_1=-4,q=3 to ile wynosi suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu
Podane ćwiczenie rozwiążemy dwoma metodami.

Metoda 1:
Wyznaczamy kolejne wyrazy ciągu:
Jeśli to na mocy definicji ciągu geometrycznego:

czyli:

Metoda 2:
Stosujemy wzór:

Ćwiczenie: Oblicz sumę dziesięciu wyrazów ciągu geometrycznego w którym pierwszy wyraz to a drugim wyrazem jest

Rozwiązanie:
Podobnie jak w poprzednim przykładzie wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego:

Widzimy, że uzyskaliśmy liczbę różną od jedynki więc wykorzystujemy wzór

Ćwiczenie: Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego , jeśli

Rozwiązanie:
W tym zadaniu iloraz ciągu geometrycznego wynosi jeden więc:

stąd:

Ćwiczenie:
Dany jest ciąg geometryczny w którym oraz ile wyrazów tego ciągu należy sumować aby otrzymać liczbę

Rozwiązanie
Metoda I
Wypisujemy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego

Zauważamy że:

Metoda II






Szereg geometryczny

Ciąg nieskończony o wyrazie ogólnym nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego lub szeregiem geometrycznym.

Szeregu geometrycznego:

Jeśli <1 to :

Jeśli oraz >1 to : szereg geometryczny jest rozbieżny

Ćwiczenie: Oblicz

a)

Rozwiązanie:
Zauważmy, że:

Stosując wzór otrzymujemy:

b)

Zauważmy, że:

Stosując wzór otrzymujemy:

[Poniższe zadanie to zadanie za które maturzysta mógł otrzymać jeden punkty podczas matury podstawowej w maju 2021 roku]
Zadanie 1. [Źródło: Microsoft Word – 20210309 EMAP_P0_100_A_2105.docx (cke.gov.pl) zadanie 13]
Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że
A.
B.
C.
D.

Rozwiązanie:
W zadaniu podane zostały trzy wyrazy ciągu załóżmy że pierwsza liczba to pierwszy wyraz, druga drugi, trzecia to trzeci wyraz naszego ciągu wtedy:

Zauważmy że:

wtedy

wstawiając podane wartości otrzymujemy:

lub

Uwaga: Zdający musi teraz stwierdzić że jeśli ciąg ma mieć wyrazy dodatnie to x powinien przyjmować wartość i zaznaczyć odpowiedź D

[Poniższe zadanie to zadanie za które maturzysta mógł otrzymać jeden punkty podczas matury podstawowej w maju 2020 roku]
Zadanie 2. [Źródło: Microsoft Word – 20200219_MMA-P1A1P-202 (cke.gov.pl) zadanie 33]

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego , określonego dla , są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału
Podane równanie:

wykorzystując to że

możemy przedstawić w postaci:

dzieląc obustronnie przez wartość (możemy to zrobić bo wyrazy tego ciągu są dodatnie co wynika z treści zadani) możemy zapisać że:

6-5q+q^2=0

czyli:

Wyznaczamy teraz rozwiązania równania kwadratowego w którym

wyróżnik trójmianu kwadratowego przyjmuje wartość 1 bo:

oraz:

Zdający musi teraz stwierdzić czy liczba 2 znajduję się w przedziale może w tym celu oszacować wartości:

więc liczba 2 nie jest naszym ilorazem bo nie należy ona do podanego przedziału ale liczba 3 to liczba której szukamy bo jest ona elementem który należy do przedziału

[Poniższe zadanie to zadanie za które maturzysta mógł otrzymać jeden punkty podczas matury podstawowej w maju 2019 roku]
Zadanie. [Źródło: Microsoft Word – 20190315 MMA-P1A1P-192 (cke.gov.pl) Zadanie nr. 12]
Dany jest ciąg geometryczny , określony dla . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek . Iloraz tego ciągu jest równy:

A.
B.
C.
D.

Rozwiązanie:
Z treści zadania:

więc wykorzystując definicję ciągu geometrycznego możemy zauważyć że:

czyli:

lub

Analizując treść zadania zdający powinien stwierdzić że jeśli wszystkie wyrazy ciągu to liczby dodatnie to iloraz ciągu również jest liczbą dodatnią więc wynosi

[Poniższe zadanie to zadanie za które maturzysta mógł otrzymać jeden punkty podczas matury podstawowej w maju 2018 roku]
Zadanie. [Źródło: MMA-P1_1P-182.pdf (cke.gov.pl) Zadanie nr. 13]
Dany jest ciąg geometryczny , określony dla , w którym . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać

A.
B.
C.
D.

Rozwiązanie:
W podanym zadaniu wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego:

następnie wykorzystujemy wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego dostając:

Zauważmy, że:

[Poniższe zadanie to zadanie za które maturzysta mógł otrzymać jeden punkty podczas matury podstawowej w maju 2017 roku]
Zadanie:
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny . Stąd wynika, że
A.
B.
C.
D.

Rozwiązanie:
Postępując w taki sam sposób jak w zadaniu które wystąpiło w arkuszu w roku 2021
W zadaniu podane zostały trzy wyrazy ciągu załóżmy że pierwsza liczba to pierwszy wyraz, druga drugi, trzecia to trzeci wyraz naszego ciągu wtedy:

wstawiając podane wartości otrzymujemy:

[Poniższe zadanie to zadanie za które maturzysta mógł otrzymać jeden punkty podczas matury podstawowej w maju 2016 roku]

Zadanie: [Źródło:MMA-P1_1P-162.pdf (cke.gov.pl) Zadanie nr. 15]
Ciąg jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A.
B.
C.
D.

Rozwiązanie
Układamy równanie:

oraz wykorzystując wzór skróconego mnożenia

[Poniższe zadanie to zadanie za które maturzysta mógł otrzymać jeden punkty podczas matury podstawowej w maju 2015 roku]

Zadanie:[Źródło:MMA-P1_1P-152.pdf (cke.gov.pl) Zadanie nr. 13]
W rosnącym ciągu geometrycznym , określonym dla , spełniony jest warunek . Iloraz tego ciągu jest równy
A.
B.
C.
D.

Rozwiązanie:

Jeśli:

oraz mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym to na mocy definicji otrzymujemy że:

dzięki czemu możemy zapisać równanie:

Dzieląc przez a_1 powyższe równanie możemy zapisać:

stąd