Ciąg geometryczny wzory

Ciąg geometryczny – wzory
Aby dobrze zrozumieć, a co najważniejsze potrafić stosować wzory dotyczące ciągów geometrycznych, najpierw należy bardzo dobrze zrozumieć samo pojęcie ciągu geometrycznego. A więc co to takiego jest ciąg geometryczny?
Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, który może być albo skończony albo nieskończony, w którym każdy następny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu oraz pewnej stałej liczby, która najczęściej jest oznaczana literą q. Przez to między kolejnymi dwoma wyrazami ciągu jest zawsze stała wartość ich ilorazu, która jest równa q. Ciąg geometryczny musi zawsze być ułożony w jakimś porządku.
Wyraz ciągu geometrycznego to po prostu jedna z liczb ciągu, a iloraz ciągu to jakaś stała wartość oznaczana literą q.

Ogólny wzór ciągu geometrycznego, czyli reguła według której powstaje:
przy czym n należy do liczb naturalnych oraz q jest dowolną liczbą różną od zera.

Po przekształceniu wzoru, możemy otrzymać wzór na iloraz ciągu geometrycznego, czyli q:

Przykładowe ciągi geometryczne:
a1=2 q=2 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512;…
a1=1 q=4 1; 4; 16; 64; 256; 1024; 4096;…

Jeszcze została jedna ważna rzecz, którą należy wiedzieć o ciągach, a mianowicie, gdzie są one stosowane w rzeczywistości?
Możemy się z nimi spotkać w chemii i medycynie, gdy na przykład chcemy obliczyć czas połowicznego rozpadu danego pierwiastka oraz w bankowości, gdy chcemy wyliczyć zysk z lokat bankowych.

Skoro już wiemy, co to jest ciąg geometryczny oraz znamy jego zastosowanie, to teraz przyszedł czas na poznanie bardzo pomocnych wzorów przy rozwiązywaniu zadań z ciągami geometrycznymi.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
przy czym to n-ty wyraz ciągu geometrycznego; a1 to pierwszy wyraz ciągu geometrycznego; q to iloraz ciągu geometrycznego; n to numer poszukiwanego wyrazu ciągu geometrycznego.

Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego:
przy czym a1 to pierwszy wyraz ciągu geometrycznego; q to iloraz ciągu geometrycznego; n to liczba kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego. UWAGA: Jeśli q=1 to wzór ma postać

Własność ciągu geometrycznego dla trzech kolejnych wyrazów:

Skoro teraz wiemy już wszystko o ciągach geometryczne, przyszedł najwyższy czas, aby całą naszą wiedzę sprawdzić w praktyce, dlatego teraz jest moment na przykładowe zadania.

Zadanie 1
Ciąg (x; 2x+3; 4x+3) jest ciągiem geometrycznym, podaj wartość pierwszego wyrazu tego ciągu.

Z własności ciągu geometrycznego dla trzech kolejnych wyrazów wiemy, że:
(2x+3)2=x (4x+3) Skoro to już wiemy, to zostało nam już tylko rozwiązać równanie.
4x2+12x+9=4x2+3x |-4x2
12x+9=3x |-3x
9x+9=0 |-9
9x=-9 | /9
x=-1

Odpowiedź.: Pierwszym wyrazem ciągu jest liczba -1.

Zadanie 2
Oblicz sumę trzech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego opisanego wzorem ogólnym
Aby móc skorzystać ze wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, najpierw musimy policzyć a1 i q.

a1=21=2
q= =

Skoro mamy już wszystkie niezbędne wartości, to teraz wystarczy je podstawić do wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego. UWAGA: Pod n podstawiamy 3, ponieważ zgodnie z poleceniem, mamy policzyć właśnie sumę trzech pierwszych liczby tego ciągu.