Ciąg rosnący

Ciąg monotoniczny jest ciągiem liczbowym, w którym możemy wyróżnić ciągi rosnące, malejące lub stałe.
Ciąg an rosnący występuje, gdy dla każdej liczby n N+ spełnia się nierówność an < an+1 .

Przykład
Kolejne wyrazy ciągu o wzorze ogólnym an = to: ,…
Każdy wyraz, poza pierwszym, ma większą wartość od poprzedniego, zatem ciąg jest rosnący.

Ćwiczenie 1
Podaj przykład ciągu rosnącego:
a) o wyrazach większych od 5
b) o wyrazach zawierających ułamek

Rozwiązanie:
a) an = 2n + 4
a1 = 2 * 1 + 4 = 2 + 4 = 6
a2 = 2 * 2 + 4 = 4 + 4 = 8
a3 = 2 * 3 + 4 = 6 + 4 = 10
a4 = 2 * 4 + 4 = 8 + 4 = 12
a5 = 2 * 5 + 4 = 10 + 4 = 14
Wyrazy ciągu: 6, 8, 10, 12, 14,…
5 < 6 < 8 < 10 < 12 < 14 < ... b) an =





Wyrazy ciągu: ,…
< < < < < ...
Ćwiczenie 2
Wykaż, że ciąg jest rosnący.

Rozwiązanie

a) Wyznaczamy

=

b) Wyznaczamy

> 0 dla wszystkich liczb naturalnych , a więc dany ciąg jest rosnący.