Ciąg zbieżny

Definicja zbieżności Cauche’ego:
Jeśli mamy do czynienia z ciągiem nieskończonym dla którego zachodzi poniższy warunek:

który oznacza że dla każdej liczby dodatniej istnieje wyraz ciągu o indeksie od którego wszystkie kolejne wyrazy ciągu są w odległości nie większej od liczby od liczby to ciąg nazywamy ciągiem zbieżnym a liczbę nazywamy jego granicą.

Uwaga:
W praktyce definicja ta oznacza że dla zmniejszającej się liczby potrafimy odnaleźć w okolicy liczby ciągle nieskończoną ilość elementów ciągu

Jeśli granica ciągu istnieje oznaczamy ją symbolem:

Przykład: Udowodnijmy, że jest równa korzystając z powyższej definicji:

Niech >0 (wybieramy tą liczbę dowolnie),
Rozważmy kiedy : <
<
czyli:
<
<
<
<
<
<
<
>

Czyli jeśli za za m wybierzemy zaokrąglenie liczby do całości to zauważamy że istnieje liczna naturalna m>n. Więc ciąg jest ciągiem zbieżnym

Przykład 2: Udowodnijmy, że

Niech >0,
Rozważmy kiedy : <
<
czyli:
<

<
<
>

Czyli jeśli za za m wybierzemy zaokrąglenie liczby do całości to zauważamy że istnieje liczna naturalna m>n. Więc ciąg jest ciągiem zbieżnym

Wykorzystując definicję zbieżności Cauch’ego:

Zadanie 1: Udowodnij, że

Zadanie 2: Udowodnij, że