Ciągi arytmetyczne

Ciąg arytmetyczny ( postęp arytmetyczny)

Ciąg nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy jeśli różnica miedzy dowolnym wyrazem, a wyrazem, który go poprzedza jest stała.

Różnice tę nazywamy r.

Przykłady:

Sprawdź czy niżej zapisany ciąg jest arytmetyczny.

(250, 180, 70,…..)
180-250= 70-180
-70 jest różne od -110
Ten ciąg nie jest arytmetyczny.

Wykaż, że ciąg an nie jest arytmetyczny :

an = 2n2 – 3
(-1,5,15…)
an-1 = 2 ( n2 -2n +1)-3 = 2n2 -4n -1
r=a n– a n-1= -3 +4n +1 = 4n-2
Nie jest ciągiem arytmetycznym, bo nie wyszedł constans

Oblicz dla jakich x podane wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny:

(2x-1, x2 , x+10)
x2 – (2x-1)= x + 10-x2
x2 -2x +1 = x +10 -x 2
2x2 -3x -9 = 0

∆= 9+72= 81, √∆= 9
x= = 3, x=

sprawdź czy ten ciąg jest arytmetyczny:

an = 5n2-7
(-2, 13,38….)
13+2= 15
38-13= 25

Nie jest to ciąg arytmetyczny, lewa nie jest równa prawej.

Sprawdź dla jakich x ciąg jest arytmetyczny:

(x3 -5x2 , x-18, 2x2 -10x )
x-18-x3 +5x2 = 2x2 -10x -x+18
-x3 +3x2+12x -36= 0
-x2 (x-3) +12 (x-3)= 0
(-x2 +12)(x-3)= 0
-x2 +12= 0 x= 3
x2 = 12
x= √12
x= 2√3, x= -2√3

Wykaz, że ciąg równy -4n+5 jest arytmetyczny:

an-1 = -4(n-1)+5= -4n +9
an -an-1= -4n+5+4n-9= -4

Sprawdź dla jakiego x ciąg jest arytmetyczny:

(3x+1, 2x-4, 5x +3)

2x-4-3x-1= 5x+3-2x+4
-x-5= 3x+7
-x-3x = 12
-4x= 12/ :(-4)
x = -3

Oblicz dla jakiego x ciąg jest arytmetyczny:

(x2 +1, 5x -2, 2x2 +x+1)
5x-2-x2 -1 = 2x2 +x+1-5x+2
-x2 +5x -3= 2x2 -4x +3
-3x2 +9x-6= 0
∆= 81-4 (-3) (-6)= 81-72= 9
√∆= 3
x = 2,1

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
an = a1 + (n-1) r
Jest to wzór na n – ty wyraz ciągu arytmetycznego .

a1 = (-3) , r= (-5)
an = -3+ (n-1) (-5)= -3-5n+5 =
-5n +2

Wyznacz wzór ciągu arytmetycznego z podanych wyrazów :
a5 = 4, a9 = 22
a5 = a1 +4r
a9 = a1 +22r
a1 +4r = 4
a1 +8r = 22
-4r = -18/: (-4)
r=
a1 + 18 = 4
a1 = -14 a
an = -14 + (n-1)
an = -14 +
—> Wzór ciągu arytmetycznego.

Oblicz x, y, z :

(x, 12 , y, z, 28)
a5 = 28
a2 = 12
a1 + 4r = 28
a1 +r = 12
3r = 15 / : 3
r =
a1 = 12 = 12 -5

x = 7
y= 18
z= 23

Oblicz r oraz a1 z podobnych wyrazów :
a4 + a 7 = 86
a2 + a13 = 22

a1 +3r +a1 + 6r = 86
a1 + r + a1 + 12r = 22
2a1 +9r = 86
2a1 +13r = 22
-4r = 64 /: (-4)
r= -16
2a1. – 144 = 86
2a1 = 230
a1 = 115

Z podanych danych wyliczymy a1 oraz n.
a2 = 2, a 6 = 22, a n = 222
a1 +r = 2
a1 +5r = 22
-4r = -20/ : (-4)
r = 5
a1 = -3
an=a 1 +(n-1) r = -3+(n-1) 5= -3+5n-5= 5n -8
5n -8 = 222
5n = 230
n = 46

Z podanych danych i za pomocą wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego wyliczymy teraz n :

a1= 2,3 an = 48,8 r = 3,1
an =a 1 + (n-1) r
48,8 = 2,3 + (n-1) 3,1
48,8 = 2,3 + 3,1n -3,1
-3,1n + 48,8 = 0
-3,1n + 49,6 = 0
-3,1n = -49,6 /: (-3,1)
n = 16

Następnie obliczymy r i a1 z podanych działań :
a3 + a 5= 24
a3 a5= 135

(a 1+2r )+ (a 1+4r )= 24
(a 1+2r) (a 1+4r)= 135
2a1 +6r = 24
2a1 =24 -6r
a1 = 12-3r

(12-3r+2r)(12-3r+4r)= 135
(12-r)(12+r) = 135
144+12r-12r+r2 = 135
r2+144-135= 0
r2 = 9
r = 3, r = -3

dla r = 3 , a1 wynosi 3
dla r = -3, a 1 wynosi 21

Mając podane a1 = -27, a n= 15 i
r = 3,5, obliczymy n .

an = a1 + (n-1) r
15= -27 + (n-1) 3,5
(n-1) = 42
n- 1 = 12
n = 13

Mamy podane ze suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 18, a kwadrat sumy wyrazu pierwszego i trzeciego jest równa 104.

a1 + a 2+ a 3= 18
a1 2 + a32 = 104
a1 + a1 + r + a 1 +2r = 18
3a1 +3r = 18
a1 + r = 6
I teraz to równanie podstawiamy do naszego ilorazu :
a12 + (a1 + 2r )2 = 104
a1 2 + a 12 + 4a1 r + 4r2 = 104
2a12 +4a1 r +4r2 = 104
a12 +2a1 r +2r2 +2r2 = 52

a1 +r = 6
a12 +2a1 r +2r2+2r2 = 52
a1= 6-r
(6-r)2 +2(6-r) r +2r2 = 52
36-12r+r2 +12r -2r2 +2r2 = 52
r2 -16= 0
r = 4 lub r = -4

Dla r = 4
a1 = 2
a2 = 6
a3 = 10

Dla r = -4
a1 = 10
a2 = 6
a 3 = 2

Własność ciągu arytmetycznego :

Dowolny wyraz w ciągu arytmetycznym jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących : ( an-1 an an+1 )

an =