Ciąg geometryczny to taki ciąg, w którym każdy kolejny element jest tyle samo razy większy lub mniejszy od poprzedniego. Aby otrzymać kolejny wyraz ciągu geometrycznego należy pomnożyć dany wyraz przez stały dla danego ciągu iloraz, który zwyczajowo oznacza się literą q.
, dla
Przykłady:
:
:
:
Tym samym dany ciąg jest geometryczny jeśli iloraz jego dwóch kolejnych wyrazów jest stały dla każdego
.
Przykład:
Wykaż, że ciąg jest geometryczny.
Założenia: ,
Teza: (an) jest geometryczny.
Dowód:
Określamy wzór na kolejny wyraz ciągu:
Tworzymy iloraz kolejnych wyrazów ciągu:
Iloraz jest stały dla każdego n, zatem (an) jest geometryczny.
Rozważmy ciąg geometryczny (an) o wyrazie pierwszym a1 oraz o ilorazie q. Wówczas:
Wzór ten jest nazywany wzorem ogólnym ciągu geometrycznego.
Przykład:
Oblicz szósty wyraz ciągu geometrycznego jeśli pierwszy wyraz ciągu wynosi 4, a iloraz .
Monotoniczność ciągu geometrycznego zależy od jego ilorazu oraz od pierwszego wyrazu.
|
|
a1<0
|
a1>0
|
q>1
|
malejący
|
rosnący
|
q<0
|
nie jest monotoniczny
|
0
| |
rosnący
|
malejący
|
q=0
|
niemalejący
|
nierosnący
|
q=1
|
stały
|
Dla a1=0 ciąg jest zawsze stały niezależnie od q.
Przykład:
Określ monotoniczność ciągu geometrycznego wyrażonego wzorem
.
Aby znaleźć iloraz tego ciągu musimy wyznaczyć wzór na an+1 wyraz:
a1>0 oraz q>0 zatem ten ciąg jest rosnący.
Istotną własnością ciągu geometrycznego jest to, że dla trzech kolejnych wyrazów a, b i c zachodzi równość
Dowód:
Dane są trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: an, an+1 i an+2.
Z definicji ciągu geometrycznego wiemy, że:
Wówczas:
, c.n.d.
Dla ciągów geometrycznych o wyrazach dodatnich można wtedy zapisać, że:
Liczbę b nazywamy wówczas średnią geometryczną liczb a i c. Z tego wynika, że każdy wyraz ciągu geometrycznego (poza pierwszym i ostatnim jeśli taki istnieje) jest średnią geometryczną dwóch sąsiednich wyrazów.
Przykłady zadań:
1) Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego jeśli szósty wyraz wynosi 3, a dziewiąty .
Rozwiązanie:
Tworzymy układ równań:
Podstawiając pod n we wzorze otrzymujemy:
oraz , wówczas:
Dzielimy stronami równania:
Podstawiając q do jednego z równań otrzymujemy:
Aby otrzymać wzór ogólny ciągu należy podstawić a1 i q do wzoru :
2) Oblicz x jeśli liczby , , są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Rozwiązanie:
Korzystamy z własności, że dla trzech kolejnych wyrazów a, b i c ciągu geometrycznego :
||
