Ciągłość funkcji

Ciągłość funkcji

Funkcja jest to pojęcie bardzo często spotykane i stosowane w matematyce. Dzięki funkcjom możemy opisywać swiat i oraz zjawiska.

Ciągłość– to koncepcja określająca, że coś zmienia się bez gwałtownych zmian lub skoków.

Własności funkcji ciągłych:

suma, różnica, iloczyn, iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą
złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą
Funkcja f: [a,b] R ciągła w przedziale domkniętym jest ograniczona i osiąga swoje kresy

Co oznacza ciągłość funkcji z definicji?

O ciągłości funkcji mówimy, kiedy w punktach, w których ta funkcja jest określona to znaczy tylko dla agrumentów, które należą do dziedziny funkcji.
Funkcja to związek w którym każda wartość zmiennej niezależnej jest powiązana z wartością zmiennej zależnej.
Czasami ciągłość funkcji jest wyrażona przez stwierdzenie, że jeżeli wartości x są blisko siebie to wartości y funkcji – też są blisko siebie.

Co oznacza ciągłość funkcji według moich rozmyśleń?

Ciągłość funkcji jak sama nazwa wskazuje oznacza, że wykonujemy ją ciągłym ruchem ( nie odrywając ręki).
Przedstawię to pojęcie stosując rysunki pomocnicze.

Bez odrywania ręki narysowałam ten wykres.

Poniżej przedstawię Funkcje nieciągłą.

Proszę zobaczyć na podstawie wykresu czym się od siebie różnią.

Funkcje nie jest ciągła tylko w jednym punkcie – zatem nie jest wogóle ciągła.

Czasami jednak zastanawiamy się czy występuje ciągłość w punkcie x0. Co trzeba zrobić aby być pewnym? funkcja będzie ciągła w punkcie x0 jeżeli granica przy x zmierzającym do x0 z prawej strony tej naszej funkcji będzie taka sama jak granica przy x zmierzająca do x0 z lewej strony naszej funkcji i jest równa wartości tej funkcji w punkcie naszym x0. Jeżeli taki zachodzi warunek, że te dwie granice są równe wartości funkcji w punkcie x0- to wówczas mamy do czynienia z funkcją ciągłą w naszym punkcie x0.

lim f(x) = lim f(x) = f (x0)
x-x0 + (x zmierzające do x0 z prawej strony x-x0 – ( x zmierzające do x0 z lewej strony)

lim- granica
f- funkcja

Pojęcie ciągłości funkcji związane jest z tym, że musimy wyznaczyć granice funkcji w punkcie, zarówno obustronnej jak i z prawej strony, z lewej strony oraz musimy umieć liczyć wartość funkcji w punkcie.