Cięciwa

Cięciwa– to odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu. Cięciwa, która przechodzi przez środek okręgu nazywa się średnicą.
Okrąg – to brzeg koła. Jest to również zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, których odległość od pewnego punktu ustalonego na tej płaszczyźnie, który nazywamy środkiem okręgu jest taka sama dla ustalonej odległości, którą nazywamy promieniem okręgu.
Poniżej został przedstawiony rysunek okręgu, z zaznaczonym środkiem i promieniem okręgu.

Z pojęciem okręgu związane są zatem następujące sformułowania:
cięciwa
średnica
styczna do okręgu – czyli prosta, która posiada tylko jeden punkt, styczny do okręgu
promień
punkt styczności
środek okręgu, który nie należy do okręgu

Wszystkie powyższe pojęcia dotyczą również koła, które jest zbiorem wszystkich punktów na płaszczyźnie, których odległość od środka koła jest mniejsza lub równa ustalonej odległości, którą nazywamy promieniem koła.

Wnioski:
1 . Pojęcia – promień, cięciwa, średnica – są takie same dla koła i okręgu.
2 . Koło różni się od okręgu tym, że jest całą płaszczyzną ze środkiem koła włącznie. Okrąg zaś jest tylko brzegiem koła
3 . środek okręgu nie należy do okręgu, zaś środek koła należy do koła
Zadanie:
Ile wynosi odległość środka okręgu od cięciwy tego okręgu wiedząc, że cięciwa ta ma długość 30 cm, a promień tego okręgu ma długość 17 cm.

Zadanie te najlepiej rozwiązać za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Łatwiej będzie zrozumieć nam zależności, jeśli przedstawimy nasze założenia na poniższym rysunku:

Oznaczyliśmy literą O środek okręgu. Ten punkt stanowi również wierzchołek naszego trójkąta rozwartokątnego. Odcinek |AB| jest cięciwą, która stanowi podstawę trójkąta ABO. Poprowadziliśmy odcinek z wierzchołka trójkąta do jego podstawy. Tym odcinkiem jest wysokość |OC|, która jest poprowadzona pod kątem prostym. Skoro mamy kąt prosty to od razu zapala nam się światełko, że możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa, gdyż odcinek |OC| podzielił tam trójkąt ABO na dwa trójkąty: na trójkąt OAC oraz na trójkąt COB. Wypiszmy teraz dane.

Dane:
|AO| = 17
|AC| = 15

Szukane:
|OC| = ?

Założenia:
x > 0

Rozwiązanie:

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa

Wstawiamy oznaczenia naszych odcinków

Podstawiamy długości odcinków.

Przerzucamy wiadome na prawą stronę i niewiadome na lewą stronę pamiętając o zmianie znaku podczas zmiany stron wyrażenia

Podnosimy wartości do kwadratu, a następnie odejmujemy wartości od siebie

Pierwiastkujemy stronami. Odrzucamy wartość ujemną w związku z założeniami

Zapisujemy wynik.

Odpowiedź: Odległość między cięciwą a środkiem okręgu wynosi 8cm.

Kąt powstały pomiędzy styczną do okręgu, a cięciwą okręgu przechodzącą przez punkt styczności jest równy kątowi, który wpisany jest w ten okrąg.
Prezentuje to poniższy rysunek:

Twierdzenie odwrotne do powyższego twierdzenia głosi, że jeśli odpowiednie kąty są równe, to okrąg opisany na trójkącie jest styczny do danej prostej.
Powyższe prezentuje poniższy rysunek:

Teraz przyszedł czas na zadanie związane z tymi twierdzeniami.

zadanie 2
W trójkąt ABC został wpisany okrąg. On zaś jest styczny do kolejnych boków trójkąta, a więc okrąg ten jest styczny do boków: AB, BC, AC w punktach F, D, E. Została również poprowadzona prosta równoległa do odcinka |AB|, która przechodzi przez punkt C oraz przecina prostą FE w punkcie K oraz prostą EF w punkcie L. Wykaż, że jest możliwość opisania okręgu na czworokącie KEDL.

Przejdźmy do rozwiązania zadania. Jak widzisz, treść zadania jest dosyć długa i skomplikowana, dlatego podzielmy te zadanie na części. Zacznijmy od rysunku. Narysujmy trójkąt ABC. Następnie narysujmy prostą równoległą do boku AB, do której należy punkt C, a więc wierzchołek trójkąta. Przejdźmy dalej do wpisania okręgu w nasz trójkąt. Jak widzisz, po połączeniu punktów styczności trójkąta i okręgu, możemy otrzymać kolejny trójkąt. Gdy przydłużymy ramiona tego nowego „małego” trójkąta, to zobaczysz, że przecinają one prostą w punktach K oraz L.

Mniej więcej taki rysunek powinieneś/powinnaś otrzymać. Następnie skorzystajmy z naszego twierdzenia o stycznej i cięciwie. Zauważ, że:

|AB| || |KL|

Znając to możemy bezpośrednio wyłapać kąty, których miary są te same.

∢EKL = ∢EFA = ∢EDF

Tym samym, otrzymujemy zależność:

∢EKL + ∢EDL = ∢EKL + 180° – ∢EDF = 180°

Jak widzisz, zaznaczone na niebiesko kąty są równe co do wartości. W związku z zależnością, jaką otrzymaliśmy otrzymujemy wniosek, że na czworokącie KEDL możemy opisać okrąg.

Jak więc widzisz, zadania z cięciwą nie tylko dotyczy cięciwy. Konieczna jest znajomość wielu innych zagadnień, aby móc rozwiązać praktycznie każde zadanie.

zadanie 3
Okrąg o promieniu 3 i środku w punkcie O został narysowany w taki sposób, że kąt |∢AOB| = 150°. Tym samym punkty A oraz B należą do tego okręgu. Po połączeniu tych punktów powstała cięciwa, która podzieliła okrąg na dwa łuki. Wyznacz długość większego z nich.

Oczywiście rozwiązanie takiego zadania zaczynamy od narysowania rysunku poglądowego. Rysujemy okrąg o promieniu 3. Zaznaczamy środek oraz punkty A oraz B. Prowadzimy promienie z punktu O do punktów A i B. Następnie zaznaczamy utworzony kąt, zapisujemy jego miarę oraz długość promieni.

Zacznijmy od policzenia długości całego okręgu:

W takim razie możemy wyznaczyć drugi kąt wypukły:

Jego miara to: 360°-150° = 210°

W takim razie obliczmy teraz l:

Odpowiedź: Długość dłuższego łuku wynosi .