Co to jest iloraz

Gdy słyszymy słowo matematyka, na pierwszą myśl Przychodzą nam dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.
Oczywiście są to jedne z najbardziej podstawowych działań w matematyce.
Dodawanie – wynikiem jest suma ( ).
Odejmowanie – wynik to różnica ( ).
Mnożenie – wynikiem jest iloczyn ( ).
Dzielenie – wynik to iloraz ( ).

Skupmy się na dzieleniu. Taka operacja matematyczna jest odwrotnością mnożenia. Oznaczyć je można dwukropkiem ( ), ukośnikiem ( / ) lub za pomocą ułamka zwykłego ( ). Dzielenie zazwyczaj zapisuje się jako: . W tym wzorze , czyli liczba, która jest dzielona jest dzielną, , czyli liczba, przez którą będzie dzielona liczba to dzielnik, natomiast , czyli wynik dzielenia to iloraz.

Jak już wspomniałam, dzielenie jest odwrotnością mnożenia. Oznacza to, że dzielenie można zapisać jako mnożenie dzielnej razy odwrotność dzielnika. Tę własność najczęściej wykorzystuje się wtedy, gdy dzielnikiem jest ułamek. UWAGA! Trzeba zawsze pamiętać, że dzielnikiem nie może być 0 w przeciwieństwie do dzielnej. Oznacza to, że możliwe są ułamki na przykład: , lecz ułamek: jest niepoprawny! Zatem wróćmy do odwrotności mnożenia. Wygląda ono na przykład tak: .

Jest też takie coś jak rozkład na czynniki pierwsze. Polega on na tym, aby znaleźć wszystkie czynniki pierwsze danej liczby, których iloczyn da rozkładaną liczbę. Zawsze rozpoczyna się od najmniejszej liczby pierwszej, czyli od 2. Zapisuje się go w dwóch słupkach rozdzielonych jedną pionową kreską. Ten rozkład, aby był poprawny, musi kończyć się cyfrą 1. A wygląda to tak na przykładowych liczbach 64 oraz 45 (które muszą być liczbami złożonymi):

Jak widać, liczba 64 to iloczyn sześciu 2: . Natomiast liczba 45 to iloczyn dwóch 3 oraz jednej 5: .

Dzielenie dużych liczb może być kłopotliwe. Dlatego jest takie coś jak dzielenie pisemne. Jest to ułatwienie, gdyż wystarczy tylko opanować dzielenie mniejszych liczb. A to wszystko wygląda tak dla przykładowych liczb:

Dla liczby 45 dzielonej przez 3 dzielenie pisemne polega najpierw na odpowiedzeniu, ile trójek znajduje się w liczbie 4 oznaczającej liczbę dziesiątek. Znajduje się jedna, więc zapisujemy jedynkę na czwórką. Następnie mnożymy 1 razy 3. Wynik zapisujemy pod czwórką i wykonujemy odejmowanie 4 – 3, które równa się 1. Obok tego wyniku przepisuje się liczbę jedności z 45, czyli 5. Powstała liczba 15. Zastanawiamy się, ile trójek mieści się w 15. Mieści się 5, więc zapisujemy ją nad 5 z liczby 45. Mnożymy 5 razy 3, a wynik zapisujemy pod liczbą 15. Odejmujemy. Wynikiem jest 0, co oznacza, że dzielenie pisemne skończyło się. Jego wynikiem, czyli ilorazem jest liczba zapisana na samej górze – nad dzielną. Obie te liczby muszą być przedzielone poziomą kreską. Natomiast czasami iloraz nie jest liczbą całkowitą. Wtedy dzielenie nazywa się dzieleniem z resztą. Polega ono na tym samym co zwykłe dzielenie pisemne, lecz kończy się zamiast zerem inną liczbą mniejszą od dzielnika, ale większą od 0. Wygląda to tak:

W tym przypadku ilorazem działania 65 : 4 jest 16 z resztą 1, zapisywany w skrócie jako 16 r 1. Natomiast działania takiego rodzaju można również rozwiązać tak, aby wynikiem była liczba dziesiętna. Wygląda to wtedy tak:

W zapisie zmienia się to, że gdy nie ma jakiej cyfry dopisać z dzielnej, to zapisuje się zero. W ilorazie należy dopisać przecinek, a po nim zapisywać kolejne cyfry do uzyskania zera na końcu zapisu. Możliwe, że to nie nastąpi. Wtedy są dwie możliwości: albo cyfry po przecinku będą się powtarzać, albo wiele cyfr po przecinku ciągle są inne niepowtarzające się, przez co nie warto obliczać bez końca – wtedy trzeba zaokrąglić liczbę do dowolnego miejsca po przecinku. Przykłady:
czytane jako zero i trzy w okresie. .

Zadanie:

Jest 10 dzieci, które mają razem 50 cukierków. Chcą się nimi podzielić po równo. Ile cukierków dostanie każde z dzieci?
Dane:
10 dzieci
50 cukierków
Szukane:
x cukierków na jedno dziecko
50 cukierków chcemy podzielić na 10 dzieci, więc liczba cukierków jest dzielną, a liczba dzieci – dzielnikiem. A więc liczymy:

Odpowiedź: Każde z dzieci otrzyma 5 cukierków.

Ania ma 14 ciasteczek. Dwa już zjadła. Pozostałe chce rozdzielić równo między swoje koleżanki: Basię, Kasię, Alę i Zosię. Po ile ciasteczek dostanie każda z koleżanek Ani?
Dane:
Razem: 14 ciasteczek
Ania: 2 ciasteczka
Obliczenia:
Basia, Kasia, Ala i Zosia:
Odpowiedź: Każda z koleżanek Ani otrzyma po 3 ciasteczka.