Cos 120

Cosinus 120 stopni – to jedna z funkcji trygonometrycznych dotycząca kąta z przedziału
< >. Obliczanie wartości trygonometrycznych dowolnego kąta sprowadza się do obliczania wartości trygonometrycznych ich kątów z wyżej wymienionego przedziału.
Obliczanie funkcji trygonometrycznych sprowadza się praktycznie do obliczania ich wartości tylko dla kątów ostrych, czyli w przedziale < >. Znając wartości kątów ostrych, automatycznie możemy obliczyć wartości dla kątów większych od 90 stopni w przedziale <0°,360°>. Aby móc obliczać wartości tych funkcji należy zastosować tak zwane wzory redukcyjne.
Wzory redukcyjne dla kąta




W naszym przypadku interesuje nas wzór redukcyjny na cosinus 120°.
Wzory redukcyjne dla kąta




Wzory redukcyjne dla kąta




Należy pamiętać, że wzory redukcyjne stosujemy przy wyznaczaniu wartości funkcji trygonometrycznych kątów innych niż .

Zadanie:
Oblicz cosinus 120stopni przy pomocy wzorów redukcyjnych.
Rozwiązanie: zastosujemy tutaj wzór redukcyjny dla kąta


Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy wartość dla cosinus 60 stopni =

Odpowiedź: cosinus kąta 120° wynosi .

Wzorów tych jest bardzo wiele i są trudne do zapamiętania. Dlatego warto nauczyć się sposobu, który umożliwia samodzielne wyznaczanie wzorów redukcyjnych. Polega on na zastosowaniu tak zwanego koła trygonometrycznego.

Jest to koło o środku w początku układu współrzędnych, które posiada promień równy i kąt , którego wierzchołek jest w początku układu współrzędnych. Na tak zdefiniowanym kole można zaznaczyć charakterystyczne odcinki, dzięki którym możemy zastosować definicje funkcji trygonometrycznych. Przy ich wyznaczaniu warto pamiętać, że promień jest zawsze w mianowniku ułamka. W powyższym przykładzie: , a więc dla funkcji cosinus:
oraz

Dla cosinus 120 stopni wyznaczenie wzoru redukcyjnego za pomocą koła trygonometrycznego polega na wyznaczeniu wzoru dla kąta .

Na podstawie powyższego rysunku, możemy wyznaczyć definicję dla funkcji cosinus:
oraz

Zadanie:
Oblicz ile wynosi cos 120 stopni przy wykorzystaniu koła trygonometrycznego.
Rozwiązanie: najpierw należy narysować koło trygonometryczne z zaznaczeniem kąta , narysowaniu promienia naszego koła oraz wyznaczeniu punktu , który jest punktem przecięcia okręgu z promieniem.

Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że cosinus kąta :

Ponieważ nie znamy ani ani możemy odbić punkt P względem osi i otrzymać punkt , który tworzy kąt , który znajduje się w pierwszej ćwiartce. Ponieważ znamy wartości funkcji trygonometrycznych w zakresie <0°,90°> należy wyznaczyć wartość dla kąta , który jest kątem ostrym wyznaczonym przez punkt , tak jak na poniższym rysunku:

Obliczamy:
Z tablic odczytujemy wartość dla cosinusa 60 °, który jest równy , następnie podstawiamy do naszego wzoru:

Odpowiedź: cosinus kąta 120 stopni wynosi .

Na podstawie powyższych zadań widzimy, że oba sposoby:
1 . za pomocą wzorów redukcyjnych
2 . za pomocą koła trygonometrycznego
na wyznaczenie wartości kątów większych od 90° są skuteczne i warto przy rozwiązywaniu zadań pamiętać o obu możliwościach.