Cos2x

Cos 2x

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się jak inaczej można przedstawić cosinus podwojonego kąta. Rozwiążesz także kilka przykładów, aby lepiej utrwalić sobie poznane wzory.

cos 2x = cos2x – sin2x:
Pierwszym wzorem pozwalającym „pozbyć się” podwojonego kąta jest wzór postaci:
cos 2x = cos2x – sin2x
Przykładowo mając podany cos 120° (czyli cos (2 60°)) możemy go zamienić (korzystając z powyższego wzoru) na cos2 60° – sin2 60°, a wtedy:
cos2 60° – sin2 60° = = = = (-0,5).
Czyli cos 120° = (-0,5).
Czasem jest łatwiej skorzystać ze wzoru „w drugą stronę” np. załóżmy, że mamy policzyć wartość wyrażenia: cos2 15° – sin2 15°. Znając powyższy wzór, wiemy że to będzie to samo co cos (2 15°) = cos 30° = .
Czyli wartość wyrażenia cos2 15° – sin2 15° jest równa .

Przykład 1:
Oblicz, korzystając ze wzoru cos 2x = cos2x – sin2x :
a) cos 180° + sin2 90°
b) cos2 22,5° – sin2 22,5°

a) Mamy podane wyrażenie: cos 180° + sin2 90°. Aby je obliczyć rozłóżmy najpierw cos 180° na cos2 90° – sin2 90°, a wtedy:
cos 180° + sin2 90° = cos2 90° – sin2 90° + sin2 90° = cos2 90° = cos 90° cos 90° = 0 0 = 0.
A zatem wartość wyrażenia cos 180° + sin2 90° wynosi 0.

b) Mamy podane wyrażenie: cos2 22,5° – sin2 22,5°. Aby je obliczyć najłatwiej będzie „zwinąć” cos2 22,5° – sin2 22,5° do cos (2 22,5°), czyli:
cos2 22,5° – sin2 22,5° = cos (2 22,5°) = cos 45° = .
A zatem wartość wyrażenia cos2 22,5° – sin2 22,5° wynosi .

cos 2x = 2cos2x – 1:
Drugim wzorem pozwalającym „pozbyć się” podwojonego kąta jest wzór postaci:
cos 2x = 2cos2x – 1
Przykładowo chcąc obliczyć cos 120° z tego wzoru możemy go zamienić na 2cos2 60° – 1 , a wtedy:
2cos2 60° – 1 = = = = (-0,5).
Wzór ten również możemy używać „w obie strony”.

Przykład 2:
Oblicz, korzystając ze wzoru cos 2x = 2cos2x – 1 :
a)
b) 2cos2 15° – 2

a) Mamy podane wyrażenie: . Aby je obliczyć rozłóżmy licznik naszego ułamka na 2cos 40° – 1 , a wtedy:
= = = 1.
A zatem wartość podanego wyrażenia wynosi 1.
(Przykład ten można było również rozwiązać przekształcając mianownik wyrażenia: = = = 1)

b) Mamy podane wyrażenie: 2cos2 15° – 2. Zauważmy, że 2cos2 15° – 2 = 2cos2 15° – 1 – 1. Najprostszym sposobem, aby obliczyć te wyrażenie, będzie przekształcić 2cos2 15° – 1 na cos 30°, czyli:
2cos2 15° – 2 = 2cos2 15° – 1 – 1 = cos 30° – 1 = – 1 = = .
A zatem wartość wyrażenia 2cos2 15° – 2 wynosi .

cos 2x = 1 – 2sin2x:
Trzecim i ostatnim wzorem pozwalającym „pozbyć się” podwojonego kąta przy cosinusie jest wzór postaci:
cos 2x = 1 – 2sin2x (Wzór ten (tak samo jak wszystkie poprzednie) możemy używać „w obie strony”)
Powyższy wzór jest przydatny, gdy chcemy obliczyć sinus jakiegoś kąta, a mamy podany cosinus kąta podwojonego (tak jak w przykładzie poniżej).

Przykład 3:
Oblicz sin 15°, korzystając ze wzoru cos 2x = 1 – 2sin2x :

Chcemy obliczyć ile wynosi sin 15°. Ponadto wiemy że cos (2 15°) = cos 30° = . Aby obliczyć wartość sin 15° układamy równanie (wykorzystując fakt, że: cos 2x = 1 – 2sin2x):
cos (2 15°) = 1 – 2sin215° (rozwiązujemy równanie tak aby wyliczyć ile wynosi sin 15°)
cos 30° = 1 – 2sin215° (podkładamy za cos 30°)
= 1 – 2sin215° (odejmujemy obustronnie 1)
= – 2sin215°
= – 2sin215°
= – 2sin215° (dzielimy obustronnie przez (-2))
= sin215° (teraz możemy spierwiastkować obie strony równania, ponieważ sin215° > 0 oraz > 0)
= sin 15° (upraszczamy powstałe wyrażenie)
sin 15° = = = = = = = = .
A zatem sin 15° wynosi .

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się jak inaczej można przedstawić cosinus podwojonego kąta. W celu utrwalenia poznanych wzorów rozwiązałeś także kilka przykładów.