Cos30

Wielu z was kojarzy czym jest cosinus (skrót: cos), lecz dla tych, którzy nie wiedzą czym jest cosinus wytłumaczę im to pojęcie:
cosinus- jest to jedna z funkcji trygonometrycznych (tak samo jak sinus, tangens i cotangens). Jest to zależność zachodząca w trójkącie prostokątnym i oznacza stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie α do przeciwprostokątnej. w praktyce wygląda następująco:

gdzie:
cos- wartość cosinusa
b-przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α
c- przeciwprostokątna

Teraz wiecie czym jest cosinus, więc możemy przejść do głównej części tego opracowania czyli cos 30 (cosinusa 30 stopni)
cos 30 oznacza to samo co cosinus lecz jego wartość jest już konkretna dla każdego trójkąta prostokątnego o jednym z kątów 30. Jego wartość wynosi:

Jeśli mi nie wierzycie, to spróbuję wam to za chwilę udowodnić (skorzystam z niewiadomych, żeby dowód dotyczył ogółu, czyli dla każdego trójkąta prostokątnego z jednym z kątów , a nie konkretnego):
Skoro trójkąt jest prostokątny, a cos 30 oznacza również, że jeden z kątów w trójkącie ma miarę , to wtedy z obliczeń, dzięki którym obliczymy miarę kąta drugiego, wychodzi nam, że drugi kąt ma miarę: , więc nasz trójkąt jest połową trójkąta równobocznego, połowa ta wygląda jak po prawej:

Bok 'a’ to połowa boku przeciwprostokątnej tego trójkąta (specjalnie wziąłem ten bok), ale skoro cosinus oznacza stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta 30, ale do obliczenia cosinusa potrzebna nam jest jeszcze przyprostokątna przy kącie 30. Na szczęście łatwo ją obliczyć ze wzoru:

Teraz tylko długość przeciwprostokątnej.
Skoro 'a’ to połowa przeciwprostokątnej to wtedy przeciwprostokątna ma wartość: '2a’

Teraz wystarczy tylko obliczyć ten stosunek:

(niewiadome 'a’ nam się skrócą)

I tak udowodniliśmy wartość cosinusa trzydziestu stopni dla wszystkich trójkątów prostokątnych z jednym z kątów równym

A teraz ciekawostka:
czy wiesz, że wartość cos 30 jest równa sin 60 ? Równość ta jest równa, gdyż zachodzi dla tych samych rodzajów trójkątów (czyli trójkątów 30; 60; 90 )

W zadaniach, wartość cosinusa , przydaje się nam przeważnie w sytuacji, gdy mamy, sytuację opisaną w poniższym zadaniu:

Zad. 1
W trójkącie prostokątnym, w którym można wykorzystywać stosunek , jest umieszczony największy możliwy kwadrat o polu . Oblicz pole tego trójkąta prostokątnego.

Rozwiązanie:
Skoro w trójkącie zachodzi stosunek , to oprócz kąta , występuje tam też kąt , więc jest to połowa trójkąta równobocznego.
Na początku zilustrujmy sobie tą sytuację, o której mowa w zadaniu (przepraszam za kiepską jakość oraz kwadrat może nie oddawać swojej prawdziwej formie):

Jak widzicie, już oznaczyłem poszczególne boki, różnych wielokątów w tym trójkącie.
Skoro bok 'a’ jest fragmentem przeciwprostokątnej w całym trójkącie oraz bokiem kwadratu o polu , to znając pole tego kwadratu, możemy obliczyć bok tego kwadratu (od razu podam przekształcony):

Teraz znamy bok kwadratu. Spróbujmy teraz obliczyć długości innych fragmentów boków:

Zauważmy, że każdy trójkąt (włącznie z całym) jest trójkątem , więc przy obliczaniu każdego fragmentu, wykorzystamy własność cosinusa:
Teraz podam wam zależności zachodzące między fragmentami tych boków:





(przekształcenie wzoru na wysokość)

Teraz mamy wszystkie stosunki między tymi fragmentami, więc możemy je obliczyć:

Z tych wszystkich fragmentów, my potrzebujemy tylko długości przyprostokątnych, więc dodajemy do siebie odpowiednie fragmenty boków (oznaczmy je jako 'r’ i 'h’):

Teraz wystarczy podłożyć je do wzoru na pole trójkąta i je obliczyć:

Teraz mamy dane pole trójkąta, lecz nie musimy dawać odpowiedzi

Koniec