Ctg

Narysuj trójkąt prostokątny, zaznacz kąt ostry oraz podpisz długości odpowiednich boków. Jeśli w odpowiedni sposób zbudujesz stosunek długości boków, otrzymasz jedną z czterech funkcji trygonometrycznych. My zajmiemy się dziś cotangensem, a więc stosunkiem długości przyprostokątnej przy kącie (b) do długości przyprostokątnej naprzeciw kąta (a). Tym samym: , gdzie bok b to przyprostokątna przy kącie alfa, a bok a to przyprostokątna naprzeciw kąta ostrego alfa.

Jeśli więc musimy obliczyć cotangens kąta ostrego, to najpierw zwracamy uwagę na długość przyprostokątnej przy kącie i ta wartość ląduje do licznika. W mianowniku pojawia się długość boku a.

Z cotangensem jest związane kilka wzorów z trygonometrii.

Słuszność tego wzoru oczywiście możemy udowodnić.

Podstawmy pod sinusa i cosinusa odpowiednie literki oznaczające długości boków. Jak widzisz, przeciwprostokątne nam się skracają, co pokazuje, że ten wzór działa dla każdego kąta ostrego.

Słuszność tego wzoru także możemy udowodnić. Wiedząc, że , możemy bez problemu udowodnić ten wzór.

zadanie 1
Został narysowany trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna to , a przyprostokątna przy kącie ma długość . Oblicz tangens kąta ostrego alfa.

Rozwiązanie takiego zadania zaczynamy od narysowania rysunku pomocniczego.

Następnie zapisujemy twierdzenie Pitagorasa. Z jego pomocą obliczamy długość przyprostokątnej naprzeciw kąta. Oznaczmy przeciwprostokątną naprzeciw kąta jako bok a.

Założenia: a > 0

zapisujemy twierdzenie Pitagorasa oraz podnosimy do kwadratu dane nam wartości

przerzucamy wiadome na prawą stronę równania

odejmujemy od siebie wartości po prawej stronie równania

obustronnie pierwiastkujemy

zauważamy, że 1 to to samo to pierwiastek z jeden

zapisujemy końcowy wynik

Następnie zapisujemy odpowiedni stosunek długości boków, aby otrzymać cotangens kąta alfa.

Zgodnie z rysunkiem:

Odpowiedź: Cotangens kąta alfa wynosi pierwiastek z dwóch.

zadanie 2
Został narysowany trapez równoramienny. Kąt przy ramieniu i dolnej podstawie wynosi 60 stopni. Oblicz wysokość tego trapezu korzystając z rysunku poniżej.

I sposób rozwiązania zadania

Spójrz na tę wysokość. Bez problemu możemy ją obliczyć korzystając chociażby z funkcji cotangens. Przyda nam się jeszcze dokładna wartość cotangensa dla 60 stopni. Skorzystajmy z tablic trygonometrycznych.

zapisujemy równanie

podstawiamy wartość cotangensa

przemnażamy na krzyż

przemnażamy prawą stronę oraz obustronnie dzielimy przez pierwiastek z trzech

skracamy pierwiastki po prawej stronie równania

zapisujemy wynik

II sposób rozwiązania zadania

Możemy również zauważyć, że poprzez poprowadzenie wysokości powstał nam charakterystyczny trójkąt, o kątach 30°, 60°, 90°. Tym samym, wystarczy, że skorzystamy z tych własności i od razu otrzymamy wynik. W ramach ćwiczeń, spróbuj rozwiązać te zadanie tym sposobem własnoręcznie.