Czworokąt wpisany w okrąg

Suma miar kątów alfa α i beta β czworokątów wpisanych w okrąg jak na rysunku poniżej, jest równa 180°. Taką sama sytuacja jest z kątami δ i γ.
α+ β= 180°
γ+ δ= 180°

Zadanie 1.
Oblicz miarę kątów α i β.

Rozwiązanie:
Aby obliczyć miary tych kątów trzeba znać zależność między kątami czworokątów wpisanych: kąty naprzeciwko siebie mają łączną miarę 180°:
α= 180° – 130°= 50°
β= 180° – 110°= 70°
Odpowiedź: Miara kąta α= 50°, zaś kąta β= 70°.

Pole czworokąta wpisanego w okrąg można zapisać za pomocą wzoru:
P=√(p−a)(p−b)(p−c)(p−d), gdzie:
p- połowa obwodu czworokąta wpisanego w okrąg, więc p jest równe:
p= 0,5 Obw= a+ b+ c+ d /2
a- długość jednego boku czworokąta;
b- długość drugiego boku czworokąta;
c- długość trzeciego boku czworokąta;
d- długość czwartego boku czworokąta.

Twierdzenie Ptolemeusza w czworokącie wpisanym w okrąg:
Iloczyn przekątnych czworokąta wpisanego w okrąg jest równy sumie iloczynów przeciwległych boków:
ef= ac+ bd
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Ptolemeusza:
jeśli iloraz długości przekątnych w czworokącie jest równy sumie iloczynów przeciwległych do siebie boków to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

Zadanie 2.
W trójkącie ABC mamy |AB|= 7, |AC|=8 i |BC|= 9. Punkt D znajduję się na okręgu opisanym na trójkącie, tak że AD przecina trójkąt BAC na połowy. Jaką wartość ma?

Rozwiązanie:
Przedstawiamy wszystkie dane w postaci rysunku:

Jako iż AD przecina ten trójkąt na połowy to: |BD|= |CD|= x.
Podstawiamy dane do Twierdzenia Ptolemeusza:
ef= ac+ bd
9* |AD|= x*7+ x*8
9|AD|= 15x
|AD|=
|CD|= x
Więc:
=
Niewiadome x się skracają, więc:

Odpowiedź: ma wartość .