Czworościan foremny

Zacznijmy od tego, czym jest czworościan foremny. Otóż czworościan foremny jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, jeśli nic Ci to do końca nie mówi, wyobraź sobie ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, gdyż czworościan foremny składa się z samych trójkątów równobocznych (czyli jego wszystkie kąty u podstawy i w ścianach bocznych są równe 60 ), jak na rysunku poniżej (bardziej na lewo):

O czworokącie foremnym możemy też (tudzież inaczej) powiedzieć, że to szczególny przypadek ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, który (w odróżnieniu od innych ostrosłupów) ma wszystkie krawędzie tej samej długości (podobnie jak sześcian) oraz własności, które podam za chwilę.

Tak jak graniastosłupy i ostrosłupy, posiadają swoje siatki, tak jest również w przypadku czworościanu foremnego (będę używał głównie tego nazewnictwa), posiada on własną siatkę (przykładowa siatka po prawej oraz trochę niżej). Pokazana przeze mnie siatka, to najprostszy sposób przedstawienia czworościanu foremnego w formie siatki.

Budowa czworościanu foremnego:

Tak jak wszystkie ostrosłupy (chodzi mi o ostrosłupy, które mają w podstawie trójkąt) , czworościan foremny składa się z:
-4 wierzchołków
-6 krawędzi (3 krawędzie podstawy i 3 krawędzie boczne)
-4 ścian (1 ściana podstawy i 3 ściany boczne) w kształcie trójkątów równobocznych

Ciekawostka:
kształt czworokąta foremnego mają niektóre kostki do gry oraz cząsteczka metanu (CH4) posiada strukturę czworościanu, a konkretnie to atom węgla (C) jest położony w centrum struktury, gdy atomy wodoru (H) są tak położone, że jak by je połączyć liniami, to by tworzyły czworościan foremny

Czas na jakieś wzory związane z czworościanem foremnym, ale w innej formie, gdyż będziemy się starali sami dojść do niektórych wzorów (jednocześnie wyjaśniając wam dlaczego taki wzór, a nie inny).

Wzór 1– wzór na pole powierzchni podstawy (lub ściany bocznej):

Skoro podstawa (oraz ściany boczne) jest trójkątem równobocznym, to jego wzór wygląda tak:

gdzie:
Pt.r– pole powierzchni trójkąta równobocznego (znajdującego się podstawie oraz ścianach bocznych)
a- długość boku (tudzież krawędzi) czworościanu foremnego

Wzór 2- wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

Skoro czworościan foremny składa się z 4 trójkątów równobocznych, mamy więc początkowy wzór na pole czworościanu foremnego:

gdzie:
Pt.r– pole trójkąta równobocznego

Skoro pole trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru:

Podstawiamy go do wzoru początkowego:

Czwórki nam się skrócą, a więc otrzymamy:

gdzie:
Pc– pole powierzchni całkowitej
a- długość boku (krawędzi) czworościanu foremnego

I ten wzór jest wzorem na pole powierzchni czworościanu foremnego.

Wzór 3- wzór na wysokość ściany bocznej (oraz wysokości podstawy)

Skoro ściana boczna (oraz podstawa) to trójkąt równoboczny, to wzór na wysokość ściany bocznej (oraz podstawy), ma taką samą postać jak wzór na wysokość w trójkącie równobocznym:

gdzie:
h-wysokość ściany bocznej (oraz podstawy)
a- długość boku (tudzież krawędzi) czworościanu foremnego

Wzór zostawiamy w takiej postaci

Wzór 4- wzór na obliczenie wysokości czworościanu foremnego:

Tutaj wykorzystujemy własność, że wysokość czworościanu foremnego, dzieli wysokość trójkąta równobocznego (tego w podstawie, zależy od punktu widzenia) w stosunku: 2:1 (obrazek obok)

Wysokość ostrosłupa obliczymy z pitagorasa. Wykorzystam trójkąt prostokątny utworzony z długości wysokości trójkąta w podstawie oraz z wysokości trójkąta na ścianie bocznej.

Długość podstawy (w trójkącie prostokątnym, który wykorzystujemy):
Oznaczę ją jako ,x’ (jak na rysunku):

=

wysokość ściany bocznej znamy (patrz wzór 2), więc możemy przystąpić do obliczenia wysokości ostrosłupa, lecz najpierw:

wzór musimy przekształcić (gdyż mamy dane tylko ,h’ oraz ,x’)
/-
(musimy znaleźć ,H’)
gdzie:
H- wysokość czworościanu foremnego
x- długość podstawy (trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość ściany bocznej, wysokość czworościanu foremnego oraz krótszej części wysokości podstawy, podzielonej przez wysokość czworościanu foremnego w stosunku 1 : 2)
h- wysokość ściany bocznej

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy

(gdyż: = 3)

(rozszerzamy i skracamy ułamki w celu uzyskanie najmniejszego wspólnego mianownika, a później przenosimy oba ułamki pod jeden ułamek)

/

(pozbywamy się liczby niewymiernej z mianownika i otrzymujemy: oraz skracamy 2 w liczniku i 12 w mianowniku otrzymujemy więc:)

gdzie:
H- wysokość ostrosłupa
a- długość boku (krawędzi) ostrosłupa

I oto otrzymaliśmy wzór na wysokość czworościanu foremnego!!!! |/ |/ |/ Brawo!!!

Wzór 5- wzór na obliczenie objętości graniastosłupa

Żeby wyprowadzić wzór na objętość czworościanu foremnego, musimy skorzystać z ogólnego wzoru na objętość ostrosłupów, czyli:

gdzie:
Pp– pole podstawy
H- wysokość ostrosłupa

Teraz, by wyprowadzić z tego wzoru ogólnego (na objętość dowolnego ostrosłupa) objętość czworościanu foremnego, musimy po prostu podstawić nasze dane (bardziej niedane, gdyż będziemy podstawiać wzory w postaciach jakie uzyskaliśmy przy wzorze 3 oraz wzór na pole powierzchni trójkąta równobocznego):

(zacznę od pomnożenia czynników po prawej stronie)

[trójki (ta z mianownika w ułamku po lewej i ta w liczniku w ułamku po prawej) ładnie się nam skrócą więc skracamy]

gdzie:
V- objętość ostrosłupa
a- długość boku (krawędzi) czworościanu foremnego

I właśnie ,narodził się’ nam wzór na objętość czworościanu foremnego.

I właśnie udowodniliśmy (oraz stworzyliśmy po swojemu) różne wzory dotyczące czworościanu foremnego, które przydadzą nam się w zadaniach. Skoro o zadaniach mowa, nadszedł czas na jakieś zadania dotyczące czworościanu foremnego.

Zad. 1
Janek posiada sześcian o boku długości 10dm i ostrosłup o boku długości dm, który jest ostrosłupem wyjątkowym. Planuje zapełnić sześcian, wlewając do niego wodę za pomocą ostrosłupa. Ile razy Janek musi wykonać zabieg przelewania wody z ostrosłupa do sześcianu oraz ile zajmie mu to czasu, jeśli założymy, że 1 zabieg przelewania wody zajmie mu 11s.

Uwaga!!!
w zadaniu wspomniane jest o sześcianie, który jest graniastosłupem, ze względu na to że pisałem tylko o czworościanie foremnym, zapiszę wzór na objętość sześcianu:

gdzie:
Vs– objętość sześcianu
a- długość boku (krawędzi) sześcianu (bo o nim mówię)

Rozwiązanie:
Obliczamy najpierw objętość sześcianu:

Obliczamy objętość ostrosłupa. Tutaj mimo że mamy daną długość tylko jednego boku (krawędzi), możemy obliczyć objętość ostrosłupa, ze względu na to że w tekście wspomniane jest, że: ,,jest ostrosłupem wyjątkowym”, więc możemy się domyślić, że jest to czworościan foremny dlatego wykorzystujemy wzór (od razu podłożę dane):

(skracamy dwójki z mianownikiem oraz 216 z mianownikiem o ile się da)

Teraz musimy podzielić objętość sześcianu przez objętość czworościanu foremnego, czego skutkiem będzie obliczenie ile razy pojemność czworościanu foremnego mieści się w sześcianie (co równe jest ilości zabiegów wlewania wody z czworościanu foremnego do sześcianu)
Niech ,x’ oznacza ile razy pojemność czworościanu foremnego mieści się w sześcianie:

czyli Janek musi 14 razy przelewać wodę z czworościanu foremnego do sześcianu, by ten się zapełnił
Żeby obliczyć ten czas, mnożymy ilość wykonanych zabiegów razy czas wykonania jednego zabiegu:

i

Teraz możemy dać odpowiedź (zadanie z treścią)
Odp.: Janek musi wykonać zabieg przelewania wody z ostrosłupa (bo mowa o ostrosłupie, a nie o czworościanie foremnym) do sześcianu, by ten się napełnił, ok 14 razy (wynik przybliżony) oraz wykona to w czasie 2min i 34s

Zad. 2
oblicz długość krawędzi czworościanu foremnego, wiedząc, że jego wysokość jest 6 razy dłuższa od jego krawędzi, a objętość jest równa

Rozwiązanie:
Jak zwykle polecam zanotować dane (Czyli to co wiemy) i szukane (czyli to czego szukamy):

Dane:
V= 250dm3

Szukane:
a=?

Ze względu na to że mamy mało danych wypiszmy stosunki między wartościami:
H= 6a

Przypomnijmy sobie wzór na objętość czworościanu foremnego:

My potrzebujemy zawrzeć we wzorze wysokość więc musimy skorzystać z ogólnego wzoru na objętość dla ostrosłupów:

Możemy podstawić za ,H’ wyrażenie ,6a’ (patrz stosunki między zmiennymi) oraz znamy wzór na pole podstawy, więc mamy:

teraz wystarczy tak przekształcić wzór, by po jedynie stronie znalazły się same niewiadome (krawędzie czworościanu foremnego), a po drugiej dana nam objętość

/ (gdyż dwunastka w mianowniku skróci się z szóstką obok)

/

/ (usuwamy nie wymierność z mianownika)

(teraz podstawiamy dane do wzoru, a po obliczeniu ułamka, obustronnie pierwiastkujemy przez )

(trójka w liczniku i trójka w mianowniku ładnie się skrócą)

/

a=

[dm]

I tak obliczyliśmy bok (krawędź) czworościanu foremnego

Uwaga!!
nie pomyl trójki będącej pomiędzy piątką, a pierwiastkiem z potęgą, jest to trzeci stopień pierwiastka. Musiałem to tak napisać, bo nie miałem jak zapisać pierwiastka trzeciego stopnia.

Możemy teraz dać odpowiedź:
Odp.: Bok (krawędź) czworościanu foremnego ma długość dm.

Zad. 3
bok czworościanu foremnego ma długość 24cm. Oblicz jego:
a) wysokość ostrosłupa
b) objętość
c) pole całkowite
d) wysokość podstawy

Rozwiązania:
a) przypomnijmy wzór na wysokość ostrosłupa:

Wystarczy teraz podstawić dane do wzoru

(sama wysokość)

Odp.:
będę odpowiedź pisał tak, by było jasne jaka jest odpowiedź.

b) przypomnijmy wzór na objętość:

Teraz podstawmy dane do wzoru:

= cm
Pamiętaj, że jeśli nie danego w jakiej jednostce podać wynik, polecam podam wynik w największej możliwej jednostce, lecz w takiej, by wynik nie był podany w postaci liczby dziesiętnej.

Odp.: ok.:

c) zapisujemy wzór na pole całkowite:

I tylko podstawiamy dane do wzoru (nic nie trzeba obliczać)

Dajemy odpowiedź:

Odp.: cm2

d) zapisujemy wzór na wysokość podstawy:

podstawiamy dane i obliczamy:

Odp.: 12 cm

Zad. 4
Ośmiościan foremny składa się z dwóch połączonych ze sobą czworościanów. Oblicz objętość oraz pole całkowite ośmiościanu foremnego jeśli jego krawędź ma długość równą 10 dm.

Rozwiązanie:

Wypiszmy dane i szukane:
Dane:
a- 10dm

Szukane:
Pc.o.(pole powierzchni całkowite ośmiościanu foremnego)- ?

Vo (objętość ośmiościanu foremnego)- ?

Skoro ośmiościan foremny to dwa połączone czworościany, to wzory mają następującą postać:

(gdyż , bo jedna ściana w obu czworościanów foremnych jest sklejona, więc są te ściany niebrane pod uwagę przy obliczaniu pola całkowitego)

(liczymy objętość tych dwóch sklejonych czworościanów foremnych)

najpierw obliczmy pole całkowite:

[cm2]

A teraz obliczamy objętość:

Możemy teraz dać odpowiedź:
Odp.: Pole powierzchni całkowitej ośmiościanu foremnego wynosi cm2 , a jego objętość wynosi ok.: cm2

Koniec