Opracowanie:
Delta wzór
Delta wzór
Delta wzór
W tym opracowaniu dowiesz się:
Czym jest równanie kwadratowe.
Czym jest nierówność kwadratowa.
Czym jest delta.
Jaki jest wzór na obliczenie delty.
Jak obliczyć deltę.
Czym jest x0 x1 x2.
Jaki jest wzór na obliczenie x0 x1 x2.
Jak rozwiązywać równania kwadratowe.
Jak rozwiązywać nierówności kwadratowe.
Czym są równania sprowadzalne do równań kwadratowych.
Jak obliczać równania sprowadzalne do równań kwadratowych.
1. Czym jest równanie kwadratowe?
Równanie kwadratowe (również nazywane równaniem drugiego stopnia) jest to równanie, które posiada niewiadomą w 2 potędze i może, lecz nie musi posiadać niewiadomą o niższym stopniu oraz wartość liczbową.
Równanie kwadratowe jest przedstawiane w sposób poniższy:
przy czym a ≠ 0
2. Czym jest nierówność kwadratowa?
Nierówność kwadratowa jest to nierówność, które posiada niewiadomą w 2 potędze i może, lecz nie musi posiadać niewiadomą o niższym stopniu oraz wartość liczbową.
Nierówność kwadratowa może wyglądać w jeden z przedstawionych poniżej sposobów:
ax2 + bx + c 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c 0
ax2 + bx + c < 0
przy czym a ≠ 0
3. Czym jest delta?
Delta jako pojęcie językowe, jest to czwarta litera greckiego alfabetu, lecz w tym opracowaniu chodzi nam o jej drugie znaczenie, czyli matematyczne. Delta w rozumieniu matematycznym jest to wyróżnik trójmianu kwadratowego. Zapewne ta nazwa może nie być do końca jasna, lecz od razu spieszę z wytłumaczeniem tego zagadnienia. Trójmianem kwadratowym nazywamy pokazane w znajdujących się punktach powyżej równania oraz nierówności kwadratowe. Trójmian natomiast oznacza wyrażenie, które składa się z 3 członów, którymi są wartości a, b oraz c. Deltę oznaczamy trójkątem równobocznym który wygląda następująco: Δ. Deltę również często można spotkać pod nazwą: wyróżnik.
4. Jaki jest wzór na obliczenie delty?
Deltę oblicza się podnosząc wartość b do potęgi drugiej, a następnie odejmując uzyskany wynik przez iloczyn czwórki, a oraz c.
Wzór na obliczenie delty wygląda następująco:
5. Jak obliczyć deltę?
Deltę oblicza się przy użyciu wzoru przedstawionego w punkcie powyżej.
Poniżej przedstawię kilka przykładów wraz z ich rozwiązaniami, w których będzie trzeba obliczyć deltę.
Przykład 1:
Oblicz deltę dla równania kwadratowego
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=3
b=7
c=3
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Odpowiedź: Delta wynosi .
Przykład 2:
Oblicz deltę dla równania kwadratowego
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=2
b=5
c=4
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Odpowiedź: Delta wynosi .
Przykład 3:
Oblicz deltę dla równania kwadratowego
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=4
b=6
c=-8
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Odpowiedź: Delta wynosi .
Przykład 4:
Oblicz deltę dla równania kwadratowego
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=6
b=3
c=-2
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Odpowiedź: Delta wynosi .
Przykład 5:
Oblicz deltę dla równania kwadratowego .
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=-5
b=4
c=6
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Odpowiedź: Delta wynosi .
Przykład 6:
Oblicz deltę dla równania kwadratowego
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=-7
b=2
c=1
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Odpowiedź: Delta wynosi .
Przykład 7:
Oblicz deltę dla równania kwadratowego .
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=4
b=-3
c=-4
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Odpowiedź: Delta wynosi .
Przykład 8:
Oblicz deltę dla równania kwadratowego
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=-6
b=-7
c=-5
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Odpowiedź: Delta wynosi .
6. Czym jest x0 x1 x2?
Równania kwadratowe w zależności od wielkości delty posiadają określoną liczbę rozwiązań.
Δ>0
Dla delty większej od 0 równanie posiada 2 rozwiązania x1 oraz x2.
Δ=0
Dla delty równej 0 równanie posiada 1 rozwiązanie x0.
Δ<0
Dla delty mniejszej od 0 równanie posiada 0 rozwiązań.
W takim bądź razie x0 x1 x2 są to rozwiązania dla równań kwadratowych.
7. Jaki jest wzór na obliczenie x0 x1 x2?
Poniżej przedstawię wzory na obliczenie x0 x1 x2:
8. Jak rozwiązywać równania kwadratowe?
Poniżej przedstawię kilka przykładów wraz z ich rozwiązaniami na których przedstawię w jaki sposób rozwiązuje się równania kwadratowe oraz jak obliczyć x0 x1 x2 oraz co zrobić gdy równanie ma 0 rozwiązań.
Przykład 1:
Rozwiąż równanie kwadratowe
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=6
b=1
c=7
Δ=?
x=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma równanie kwadratowe:
Δ=-167<0
Odpowiedź: Równanie kwadratowe ma 0 rozwiązań.
Przykład 2:
Rozwiąż równanie kwadratowe
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=4
b=4
c=1
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma równanie kwadratowe:
Δ=0=0
Odpowiedź: Równanie ma jedno rozwiązanie x0.
Krok 5: Przedstawiamy wzór na obliczenie x0:
Krok 6: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy x0:
Odpowiedź: Rozwiązanie równania kwadratowego to .
Przykład 3:
Rozwiąż równanie kwadratowe
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=4
b=12
c=-5
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma równanie kwadratowe:
Δ=244>0
Odpowiedź: Równanie kwadratowe ma 2 rozwiązania x1 oraz x2.
Krok 5: Przedstawiamy wzór na obliczenie x1 oraz x2:
Krok 6: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy x1 oraz x2:
Odpowiedź: .
Przykład 4:
Rozwiąż równanie kwadratowe
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=2
b=-7
c=6
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma równanie kwadratowe:
Δ=1>0
Odpowiedź: Równanie kwadratowe ma 2 rozwiązania x1 oraz x2.
Krok 5: Przedstawiamy wzór na obliczenie x1 oraz x2:
Krok 6: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy x1 oraz x2:
Odpowiedź: .
9. Jak rozwiązywać nierówności kwadratowe?
Nierówności kwadratowe rozwiązujemy obliczając je tak jak równania kwadratowe, lecz przedział w którym znajduje się funkcja kwadratowa musi być odczytany z rysunku, aby móc rozwiązać tą nierówność.
Poniżej przedstawię przykłady wraz z ich rozwiązaniami na których przedstawię w jaki sposób obliczać nierówności kwadratowe.
Przykład 1:
Rozwiąż nierówność kwadratową
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=3
b=-4
c=-5
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma nierówność kwadratowa:
Δ=76>0
Odpowiedź: Nierówność kwadratowa ma 2 rozwiązania x1 oraz x2.
Krok 5: Przedstawiamy wzór na obliczenie x1 oraz x2:
Krok 6: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy x1 oraz x2:
Krok 7: Rysujemy parabolę i odczytujemy rozwiązanie:
*Gdy współczynnik a jest liczbą dodatnią, parabola jest skierowana do góry, natomiast gdy jest liczbą ujemną, jest skierowana do dołu*
Odpowiedź: x jest mniejsze lub równe 0 dla wartości < , >
Przykład 2:
Rozwiąż nierówność kwadratową
Rozwiązanie:
Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:
a=-5
b=7
c=6
Δ=?
Krok 2: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 3: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Krok 4: Sprawdzamy ile rozwiązań ma nierówność kwadratowa:
Δ=169>0
Odpowiedź: Nierówność kwadratowa ma 2 rozwiązania x1 oraz x2.
Krok 5: Przedstawiamy wzór na obliczenie x1 oraz x2:
Krok 6: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy x1 oraz x2:
Krok 7: Rysujemy parabolę i odczytujemy rozwiązanie:
Odpowiedź: x jest większe lub równe zeru dla wartości < , >
10. Czym są równania sprowadzalne do równań kwadratowych?
Równania sprowadzalne do równań kwadratowych, są to równania które mogą posiadać większą potęgę niż 2, a na dodatek nadal można je sprowadzić do równania kwadratowego.
11. Jak obliczać równania sprowadzalne do równań kwadratowych?
Poniżej przy pomocy przykładów przedstawię w jaki sposób sprowadzić równania do równań kwadratowych, a następnie w jaki sposób obliczać dla nich x1 oraz x2.
Przykład 1:
Rozwiąż równanie
Rozwiązanie:
Krok 1: Podstawiamy pod niewiadomą t aby otrzymać równanie kwadratowe:
,
Krok 2: Przedstawiamy dane i szukane:
a=1
b=-4
c=3
Δ=?
Krok 3: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 4: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Krok 5: Sprawdzamy ile rozwiązań ma równanie kwadratowe:
Δ=4>0
Odpowiedź: Równanie kwadratowe ma 2 rozwiązania t1 oraz t2.
Krok 6: Przedstawiamy wzór na obliczenie t1 oraz t2:
Krok 7: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy t1 oraz t2:
Krok 8: Przedstawiamy wzór na obliczenie x1 oraz x2:
lub
lub
Krok 9: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy x1 oraz x2:
lub
lub
Odpowiedź: lub oraz lub .
Przykład 2:
Rozwiąż równanie
Rozwiązanie:
Krok 1: Podstawiamy pod niewiadomą t aby otrzymać równanie kwadratowe:
Krok 2: Przedstawiamy dane i szukane:
a=2
b=-3
c=-9
Δ=?
Krok 3: Przedstawiamy wzór na obliczenie delty:
Krok 4: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy wartość delty:
Krok 5: Sprawdzamy ile rozwiązań ma równanie kwadratowe:
Δ=81>0
Odpowiedź: Równanie kwadratowe ma 2 rozwiązania t1 oraz t2.
Krok 6: Przedstawiamy wzór na obliczenie t1 oraz t2:
Krok 7: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy t1 oraz t2:
Krok 8: Przedstawiamy wzór na obliczenie x1 oraz x2:
Krok 9: Podstawiamy dane pod wzór i obliczamy x1 oraz x2:
Odpowiedź: oraz .