Długość okręgu

Długość okręgu

Bardzo często mylonymi ze sobą pojęciami są okrąg i koło. Wiele osób myśli, że jest to jedna i ta sama rzecz, więc można używać słów okrąg i koło wymiennie. A nie jest to prawda. A więc czym dokładnie są okrąg i koło?

Koło to zbiór wszystkich punktów, które są oddalone od środka okręgu, czyli jakiegoś wybranego punktu, o określoną odległość nazywaną promieniem okręgu albo mniejszą odległość. Natomiast okrąg to zbiór wszystkich punktów, które są oddalone od środka okręgu, czyli jakiegoś wybranego punktu, o tą samą odległość, którą nazywamy promieniem okręgu. Prościej to ujmując koło to ”zamalowany okrąg”, a okrąg to po prostu „brzeg” koła. Na poniższym rysunku po lewej stronie jest okrąg, a po prawej koło.

W tym opracowaniu dokładniej zostanie omówiony okrąg, niż koło, dlatego teraz przyszedł moment na poznanie najważniejszych informacji i pojęć dotyczących okręgów.

Na rysunku powyżej został przedstawiony okrąg w kolorze granatowym oraz zaznaczono na nim najważniejsze rzeczy dotyczące okręgów, każdy innym kolorem. Na zielono oznaczono promień okręgu, który oznacza się literą r, jest to prosta, która łączy środek okręgu, czyli szary punkt na rysunku po środku okręgu oraz dowolny punkt leżący na okręgu. Na czarno zaznaczona jest średnica, którą oznacza się literą d, jest ona równa sumie dwóch promieni. Na pomarańczowo jest zaznaczona cięciwa okręgu, jest to prosta, która łączy dwa punkty leżące na okręgu. Każdy promień i średnica są cięciwami, ale nie każda cięciwa jest promieniem lub średnicą. Na różowo na rysunku została zaznaczona styczna jest to prosta, która ma z okręgiem jeden i tylko jeden wspólny punkt, który został zaznaczony na szaro i jest nazywany punktem styczności.

UWAGA! Bardzo często myloną rzeczą jest to, że środek okręgu należy do okręgu, co nie jest prawdą. Żeby to lepiej zrozumieć, wystarczy kiedyś za pomocą cyrkla narysować okrąg na kartce papieru. Wtedy miejsce gdzie wbijamy cyrkiel w kartkę jest środkiem okręgu, natomiast to co zakreślimy cyrklem jest okręgiem. Środek koła oczywiście należy do koła.

Teraz przyszedł czas, aby zapoznać się ze wzorem na obwód okręgu (często nazywany też wzorem na obwód koła, ale to jest to samo, ponieważ liczymy długość „brzegu” koła, czyli długość okręgu). Ten wzór jest bardzo prosty, a wygląda w następujący sposób:

gdzie to liczba pi, czyli stosunek obwodu koła do długości jego średnicy, jest to stała wartość, która w przybliżeniu do dwóch miejsc po przecinku ma wartość 3,14, natomiast to nic innego jak promień okręgu.

Jest jeszcze jeden bardzo ważny wzór dotyczący okręgów, a mianowicie jest to wzór na długość łuku okręgu. Poniższy rysunek bardzo dobrze przedstawia tę sytuację, gdzie to długość łuku okręgu, a to kąt środkowy, czyli taki którego wierzchołek leży w środku okręgu, a promienie są jego ramionami.

Teraz wiemy już wystarczająco dużo, aby spróbować przełożyć naszą wiedzę na praktykę i rozwiązać przykładowe zadania dotyczące tego tematu.

Zadanie 1
Oblicz długość okręgu, którego średnica ma 10cm.
wynika to z treści zadania, teraz należy obliczyć promień tego okręgu, aby być w stanie policzyć jego długość
skoro przekształciliśmy już wzór, to teraz możemy podstawić pod niego wartości

znamy wszystkie wartości, które są potrzebne, aby móc obliczyć długość okręgu

Zadanie 2
Oblicz miarę kąta środkowego, jeżeli jego promień ma , a długość łuku to
skoro znamy wzór, to wystarczy go tylko przekształcić tak, aby poszukiwana przez nas wartość była jako jedyna po jednej stronie
teraz wystarczy tylko podstawić wartości liczbowe