Dodawanie i odejmowanie

W arytmetyce istnieją cztery podstawowe działania:
dodawanie – oznaczane symbolem ” + „
odejmowanie – oznaczane symbolem ” – „
mnożenie – oznaczane symbolem ” „
dzielenie – oznaczane symbolem ” : „
Dodawanie można przedstawić wzorem:

a i b – nazywamy składnikami
c – to wynik działania, który nazywamy sumą

Odejmowanie można przestawić wzorem:

a – nazywamy odjemną
b – nazywamy odjemnikiem
c – to wynik działania, który nazywamy różnicą

Własności dodawania:
dodawanie jest przemienne, czyli
dodawanie jest łączne, czyli
jeżeli jeden składnik dodawania jest równy zeru, to zero to jest składnikiem neutralnym dla takiego działania:
Własności odejmowania:
jeżeli odjemnik jest liczbą zero, to wynik takiego działania nie zmienia się, jest równy odjemnej:
Jeżeli odejmujemy dwie jednakowe liczby, czyli odjemna i odjemnik są tymi samymi liczbami, to różnica takiego działania zawsze wynosi zero:
Odejmowanie możemy również zapisać jako sumę liczby przeciwnej:
Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania:
Zadanie:
W klasie znajduje się 15 ławek zielonych i 15 ławek żółtych. Ile wynosi suma wszystkich ławek w klasie.?

Odpowiedź:
Suma wszystkich ławek w klasie wynosi 30.
Zadanie:
Wojtek posiada 45 złotych monet. Postanowił przeznaczyć 15 tych monet na cele charytatywne. Ile zostanie Wojtkowi złotych monet? Wskaż ile wynosi odjemna, ile wynosi odjemnik oraz ile wynosi różnica tego działania?

Odpowiedź: Wojtkowi zostanie 30 złotych monet. Odjemna wynosi 45, odjemnik wynosi 15, a różnica, czyli wynik powyższego działania wynosi 30.

Dodawać i odejmować można liczby naturalne, liczby całkowite, ułamki, potęgi. Obejmują one wszystkie zbiory liczb.
Działania można wykonywać pamięciowo. Jednak duże liczby zdecydowanie łatwiej jest zsumować stosując dodawanie pisemne:

Polega ono na tym, że zsumujemy składniki począwszy od jedności, następnie dziesiątki, setki, tysiące. Jeżeli w dodawaniu poszczególnych kolumn suma będzie większa bądź równa 10, to zapisujemy tylko pod obliczaną kolumną wynik jedności, a wynik dziesiątek dodajemy do następnej kolumny. W naszym przykładzie” suma jedności to . W kolumnie dziesiątek: – czyli pod obliczaną kolumną dziesiątek zapisujemy tylko 0, a 1 przenosimy do następnej kolumny, czyli setek: I znów pod obliczaną kolumną zapisujemy tylko 4, a 1 przenosimy do następnej kolumny, czyli tysięcy: . Pod kolumną zapisujemy 0, a 1 przenosimy do następnej kolumny: . Jeżeli w ostatniej obliczanej kolumnie wynik dodawania jest większy lub równy 10, to postępujemy tak jak jest opisane wyżej, tyle że liczba dziesiątek wyniku zapisujemy przed ostatnią liczbą całego wyniku dodawania.
Dodawanie liczb całkowitych zależy od znaków składników.
Jeśli oba są dodatnie, dodajemy je tak, jak liczby naturalne, czyli jak w przykładzie powyżej.
Jeśli oba składniki są liczbami ujemnymi, to dodajemy ich wartości bezwzględne i zmieniamy znak:
Jeśli jedna liczba jest dodatnia, a druga ujemna to odejmuje się ich wartości bezwzględne . Jeśli a < b, to obliczamy i dodaje się do otrzymanego wyniku znak minus:
Jeśli jeden ze składników jest zerem , to suma równa się jednemu ze składników:
Odejmowanie liczb całkowitych również dotyczy od znaków odjemnej i odjemnika.
Jeśli obie liczby są nieujemne, odejmujemy je tak jak liczby naturalne. Różnica zależy od tego, czy większa jest odjemna czy odjemnik.
Jeśli obie są ujemne, to odjemnik należy zapisać w nawiasie, a obliczyć jako różnicę wartości bezwzględnych tych liczb, lecz w odwrotnej kolejności: .
W przypadku pierwszej liczby nieujemnej oraz drugiej ujemnej , to wynikiem jest suma liczby oraz wartość bezwzględna liczby : .
Wtedy, kiedy pierwsza liczba jest ujemna, a druga nieujemna, to działanie te równa się sumie ich wartości bezwzględnych z zachowaniem zmiany znaku wyniku, czyli: .
Dodawanie ułamków, czyli liczb wymiernych polega na dodaniu liczników. Warunek: mianowniki tych ułamków muszą być takie same. Jeżeli są inne, należy je sprowadzić do wspólnego mianownika.

Aby uniknąć skomplikowanych obliczeń przy wysokich liczbach warto rozpisać sobie wielokrotności każdego z mianownika. Jeżeli dodajemy dwa ułamki, to będziemy rozpisywać wielokrotność dwóch mianowników. Wspólnym mianownikiem jest wtedy najmniejsza wspólna wielokrotność.

Odejmowanie ułamków również polega na sprowadzeniu do wspólnego mianownika, według zasad dotyczących dodawania ułamków. Jeżeli mianowniki są takie same, wtedy stosujemy zasadę:

Jeżeli mianowniki są różne stosujemy zasadę: