Dodawanie logarytmów

Dodawanie logarytmów


Jeżeli mamy podane dwa logarytmy, które mają taką samą podstawę, bez większego problemu możemy je dodać korzystając ze wzoru:

przykład 1:

Oblicz .

Jak widzimy jeden i drugi logarytm mają taką samą podstawę, która jest równa 2 (we wzorze opisana jest literką a). Naszym b jest 2, natomiast c 8. Zatem możemy podstawić sobie dane do wzoru:

Suma tych dwóch logarytmów jest równa 4.

przykład 2:

Oblicz .

Żeby już nie skupiać się tak bardzo na wzorze, spróbujmy sobie go jakoś uprościć słownie. Aby dodać logarytmy o tych samych podstawach, wystarczy przepisać wyrażenie log z daną podstawą i w nawiasie pomnożyć jedną i drugą liczbę logarytmowaną.

teraz aby podać wynik końcowy, musimy zastanowić się: 6 do której potęgi daje nam 36?

zatem:

przykład 3:

Oblicz .

przykład 4:

Oblicz .

zastanówmy się: 2 do której potęgi daje nam 32?

zatem

Możemy to rozwiązać również w taki sposób:

, bo 2 do potęgi 2 daje 4 oraz , ponieważ 2 do potęgi 3 daje nam 8

mieliśmy dodać oraz czyli:

przykład 5:

Oblicz .

Tutaj mamy do czynienia z ukrytą, identyczną podstawą logarytmu. Podstawa ta jest równa 10, a taki logarytm jest nazywany logarytmem dziesiętnym. Przyjęło się, że jeśli mowa jest o logarytmie z podstawą 10, w miejscu podstawy możemy nie pisać nic.

zatem:

przykład 6:

Oblicz .

przykład 7:

Oblicz .

przykład 8:

Oblicz .

W tym przykładzie ponownie mamy do czynienia z logarytmem przy którym nie ma napisanej jego podstawy, zatem jest to logarytm dziesiętny (o podstawie 10).

przykład 9:

Oblicz .

przykład 10:

Oblicz .

Nieco trudniejszy przykład na sam koniec. Jednak nie ma co się martwić, może wygląda strasznie, ale jest do zrobienia:)

Zacznijmy od , musisz wiedzieć, że cyfra lub liczba, która stoi przed logarytmem to potęga liczby logarytmowanej.

Następnie zajmijmy się mianownikiem. Znajduje się w nim 1, które nieco nam utrudnia, dlatego zapiszemy je w innej postaci: , dlatego o podstawie 5, bo poprzedzający go logarytm, który musimy dodać również ma podstawę 5. Jako liczbę logarytmowaną również zapiszemy 5, ponieważ – takim właśnie sposobem zachowaliśmy wartość wyrażenia, ale ułatwiliśmy sobie liczenie. Wykorzystajmy to:

wykonujemy znane nam już działania, zarówno w nawiasie, jak i w mianowniku:

gdy już to mamy, musimy zapoznać się ze wzorem, który ułatwi nam określenie wartości znajdujących się w ułamku

, bardzo łatwo możemy podstawić nasze dane do wzoru, dzięki czemu dużo nam się rozjaśni i dojdziemy szybko do końca zadania. Dla podpowiedzi – ponownie będziemy mieć do czynienia z logarytmem dziesiętnym.

Takim sposobem otrzymaliśmy wynik końcowy. Oczywiście wszystkie te działania zapiszemy kolejno po sobie, po znaku =, jednak zostały one rozpisane, aby lepiej wytłumaczyć każdy krok z osobna.

podsumowując:
-Jeżeli widzimy, że przy sumie dwóch logarytmów, wszystkie mają taką samą podstawę – log z podstawą przepisujemy, a liczby logarytmowane mnożymy, otrzymując jeden logarytm z pewnej liczby.
-Jeśli nie ma zapisanej żadnej podstawy, musi stać się dla nas oczywiste, że jest to logarytm dziesiętny, w którym jak sama nazwa wskazuje podstawą będzie 10.
-Jeżeli widzimy sumę dwóch łatwych logarytmów, które na spokojnie da się obliczyć, możemy wówczas nie mnożyć liczb logarytmowanych, ale zsumować wartości widocznych logarytmów, tak jak zostało to przedstawione w drugim sposobie rozwiązania zadania w przykładzie 4.