Opracowanie:
Dodawanie pierwiastków
Dodawanie pierwiastków
Dodawanie pierwiastków
W tym opracowaniu dowiesz się:
Czym są potęgi.
Czym są pierwiastki.
Czym są liczby pierwsze i złożone.
Czym jest rozkład liczby na czynniki pierwsze.
Czym jest wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka.
W jaki sposób dodawać do siebie pierwiastki.
W jaki sposób odejmować od siebie pierwiastki.
1. Czym są potęgi?
Potęga jest to uproszczony zapis wielokrotnego mnożenia przez siebie tej samej liczby. Potęgi zapisujemy przy wykorzystaniu dwóch elementów, którymi są podstawa potęgi oraz wykładnik potęgi (który w stosunku do podstawy potęgi znajduje się po prawej stronie w indeksie górnym). Wykładnik potęgi pokazuje ile razy mnożymy przez siebie liczbę przedstawioną w podstawie potęgi.
Potęga wygląda następująco:
a – podstawa potęgi
b – wykładnik potęgi
2. Czym są pierwiastki?
Pierwiastek składa się z symbolu pierwiastka, stopnia pierwiastka oraz liczby podpierwiastkowej. Liczba podpierwiastkowa znajduje się pod znakiem pierwiastka, natomiast stopień pierwiastka znajduje się po lewej stronie symbolu pierwiastka. W przypadku pierwiastków stopnia 2 pomija się zapis stopnia potęgi i zapisuje się sam symbol pierwiastka oraz liczbę podpierwiastkową. Pierwiastek jest liczbą która podniesiona do potęgi o tym samym wykładniku potęgi co stopień pierwiastka, da nam liczbę równą liczbie podpierwiastkowej.
Pierwiastek wygląda następująco:
a – stopień pierwiastka
– symbol pierwiastka
b – liczba podpierwiastkowa
Niestety nie jestem w stanie zapisać stopnia pierwiastka idealnie tam gdzie powinien być, ponieważ powinien on się znajdować tutaj:
i niestety stopień pierwiastka będzie się znajdować tutaj:
Z góry przepraszam za kłopot.
WAŻNE!
Zależność między potęgą a pierwiastkiem:
,
ZAPAMIĘTAJ!
Warto zapamiętać poniżej przedstawione pierwiastki wraz z ich wartościami:
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
, bo
Warto również wspomnieć o przybliżonych wartościach takich pierwiastków jak:
3. Czym są liczby pierwsze i złożone?
Liczby pierwsze są to liczby, które mają 2 dzielniki czyli są podzielne tylko przez 1 oraz przez samą siebie.
Przykłady liczb pierwszych do 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Liczby złożone są to liczby, które mają więcej niż 2 dzielniki.
Przykłady liczb złożonych do 100:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99.
4. Czym jest rozkład liczby na czynniki pierwsze?
Rozkład liczby na czynniki pierwsze polega na tym, że liczbę złożoną rozkładamy na jej zapis w formie iloczynu liczb pierwszych.
Dla lepszego zrozumienia czym jest rozkład na czynniki pierwsze posłużę się kilkoma przykładami, na podstawie których wytłumaczę sposób rozkładania liczby na czynniki pierwsze. Liczby złożone rozkładamy na czynniki pierwsze, dzieląc, zaczynając od jak najmniejszych liczb pierwszych. Dzieleniem liczby przez liczby pierwsze dążymy do osiągnięcia wyniku równego 1.
Przykład:
Rozłóż liczbę na czynniki pierwsze.
Za czynniki pierwsze będą nam służyć dzielniki danej liczby.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
5. Czym jest wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka?
Wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka polega na tym, że rozkładamy liczbę podpierwiastkową na czynniki pierwsze, a następnie jeśli ilość jakiejś liczby w iloczynie jest identyczna lub większa od stopnia pierwiastka, to wyłączamy ją przed znak pierwiastka, a liczby podpierwiastkowe będące tą liczbą usuwamy spod pierwiastka w ilości równej stopniowi pierwiastka.
WAŻNE!
Znak mnożenia podczas Iloczynu liczby całkowitej z pierwiastkiem często się pomija i zapisuje je obok siebie.
Przykład:
Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
6. W jaki sposób dodawać do siebie pierwiastki?
Pierwiastki możemy do siebie dodawać jedynie wtedy gdy pierwiastki są takie same, a mówiąc takie same mam na myśli, że mają one ten sam stopień oraz liczbę podpierwiastkową. Jednak czasami jest tak, że pierwiastki można sprowadzić do tej samej podstawy, poprzez wyłączenie czynnika przed pierwiastek (o czym była mowa w poprzednim punkcie), dzięki czemu pierwiastki można ze sobą dodać.
Poniżej na podstawie przykładu przedstawię w jaki sposób dodawać do siebie pierwiastki.
Przykład:
Rozwiąż.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
7. W jaki sposób odejmować od siebie pierwiastki?
Pierwiastki możemy od siebie odejmować jedynie wtedy gdy pierwiastki są takie same, a mówiąc takie same mam na myśli, że mają one ten sam stopień oraz liczbę podpierwiastkową. Jednak czasami jest tak, że pierwiastki można sprowadzić do tej samej podstawy, poprzez wyłączenie czynnika przed pierwiastek (o czym była mowa w 5 punkcie), dzięki czemu pierwiastki można od siebie odejmować.
Przykład:
Rozwiąż.
a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:
c)
Rozwiązanie:
d)
Rozwiązanie:
e)
Rozwiązanie:
f)
Rozwiązanie:
g)
Rozwiązanie:
h)
Rozwiązanie:
Dziękuję za uwagę.