Dwusieczna kąta w trójkącie

Dwusieczna kąta w trójkącie

Czym jest dwusieczna w trójkącie?
Jest to półprosta, której początek jest w jednym z wierzchołków trójkąta i dzieli ona kąt na dwa o jednakowych miarach.

Dwusieczna kąta jest zbiorem punktów, które są w równej odległości od ramion trójkąta.

Odległość od jednego ramienia trójkąta jakiegokolwiek punktu P na dwusiecznej jest taka sama co odległość punktu P od drugiego ramienia.

Jak skonstruować dwusieczną trójkąta?
Z wybranego wierzchołka trójkąta narysuj cyrklem okrąg o dowolnym promieniu. Później zaznaczamy dwa punkty – przecięcia okręgu i ramion trójkąta, które wychodzą z wybranego wierzchołku. Z zaznaczonych punktów znów rysujemy okręgi o jednakowych promieniach, tak aby się przecięły. Wyznaczamy punkt P, który jest punktem przecięcia okręgów i znajduje się wewnątrz trójkąta. Na końcu rysujemy półprostą, która będzie nasza dwusieczną, łącząc wierzchołek trójkąta z punktem P.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta
Jeżeli dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta ABC poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą zawierającą odcinek AB w punkcie D, to:

Jak udowodnić to twierdzenie?
Z punktu A należy poprowadzić półprostą do dwusiecznej CD w punkcie P, będzie ona przecinała przedłużenie boku BC w punkcie B’. Możemy wtedy zauważyć, że: |AP|=|PB’| oraz |AC|=|B’C|. Potem trzeba poprowadzić prostą przechodzącą przez punkt B’ i równoległą do boku AB, będzie ona przecinała prostą CD w punkcie D’. Wtedy trójkąty ΔADP oraz ΔB’D’P są przystające, więc |D’B’|=|AD|. Z podobieństwa trójkątów ΔDBC oraz ΔD’B’C’ wynika, że:
, czyli

Okrąg wpisany w trójkąt
Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.
Przykład:
Wyznacz współrzędne środka okręgu wpisanego w trójkąt o wierzchołkach A(-12,-1), B(0,-5) oraz C(3,4).
Rozwiązanie:
Krok 1: Wyznaczamy równania dwóch prostych, na przykład AC i AB. Korzystamy ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej . Równanie prostej AC:

A wyraz wolny b obliczamy podstawiając współrzędne punktu A lub C do równania kierunkowej prostej y=ax+b:
4=3+b
b=3
Czyli równanie prostej AC to które możemy pomnożyć przez 3 i zapisać w postaci ogólnej: -x+3y-9=0.
W ten sam sposób wyznaczamy równanie prostej AB:

-5=0+b
b=-5
Czyli równanie prostej AB to , które możemy pomnożyć przez 3 i zapisać w postaci ogólnej: x+3y+15=0
Krok 2: Dwusieczna kąta CAB jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta CAB. Rozważmy punkt P(x,y) należący do dwusiecznej kąta CAB. Odległość punktu P od ramienia AC jest równa (obliczamy ją ze wzoru na odległość punktu od prostej):
Odległość punktu P od ramienia AB wynosi:

Otrzymujemy równanie:


lub
lub
x=-12 lub y=-1
Dwusieczna kąta CAB jest zawarta w prostej y=-1 (prosta x=-12 zawiera dwusieczne kątów rozwartych utworzonych przez proste AC i AB)
Krok 3: W taki sam sposób obliczamy dwusieczną kąta ACB i otrzymujemy: y=x+1.
Krok 4: Środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC jest punktem przecięcia obu tych prostych, czyli:
y=-1
y=x+1
-1=x+1
x=-2
S(-2, -1)