Działania na pierwiastkach

Przed przystąpieniem do działań na pierwiastkach ustalmy definicję pierwiastka, czyli czym właściwie jest pierwiastek.

Definicja pierwiastka

,gdzie

n – stopień pierwiastka
a – liczba podpierwiastkowa (liczba, z której wyciągamy pierwiastek)
b – wynik pierwiastkowania

Pierwiastkowanie często jest też nazywane odwrotnością potęgowania.

Działania na pierwiastkach
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków
Dodawanie i odejmowanie pierwiastków o tych samych liczbach podpierwiastkowych i tym samym stopniu
W celu zrozumienia zagadnienia znajdującego się w nagłówku wyobraźmy sobie działanie 1 drzewo + 2 drzewa. Wynikiem takiego działania są 3 drzewa. Zadziałajmy teraz w drugą stronę. Ile to jest 5 drzew – 3 drzewa? Oczywiście 2 drzewa. Według takiej samej zasady postępujemy podczas dodawania i odejmowania pierwiastków mających ten sam stopień i te same liczby podpierwiastkowe, czyli pierwiastkami podobnymi. Przykład: lub . Możemy powiedzieć, że dodajemy/odejmujemy liczby będące przed pierwiastkiem, a pierwiastki przepisujemy. Jeżeli nie ma żadnej liczby przed pierwiastkiem to uznajemy ją za 1.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków o różnych liczbach podpierwiastkowych i tym samym stopniu
W przypadku opisanym w temacie nagłówka należy liczbę podpierwiastkową zmodyfikować do postaci iloczynu dwóch liczb. Jedna z tych liczb musi być podniesiona do potęgi stopnia pierwiastka. Najczęściej musi być kwadratem (w przypadku pierwiastków kwadratowych) lub sześcianem (w przypadku pierwiastków sześciennych). Przypadek, gdy nie jest możliwe, żeby jedną z liczb podnieść do potęgi stopnia tego pierwiastka jest opisany w następnym nagłówku. W następnym kroku trzeba wyciągnąć czynnik przed znak pierwiastka.

Dodawanie i odejmowanie pierwiastków mających różne liczby podpierwiastkowe (przypadek, gdy z jednej z nich nie da się zrobić iloczynu dwóch liczb naturalnych, z których jedna musi być podniesiona do potęgi stopnia pierwiastka) i ten sam lub różny stopień
Przypadek opisany w nagłówku możemy sobie wyobrazić działaniem 2 marchewki + 3 banany albo 3 buraki + 2 wody. Takie składniki nie można do siebie dodać oraz odjąć. Identycznie jest w przypadku opisanym w nagłówku. lub nie da się dodać ani odjąć. albo również się nie da. W takim wypadku wynikiem działania jest suma lub różnica tych pierwiastków.

Mnożenie i dzielenie pierwiastków
Mnożenie pierwiastków
Podczas mnożenia pierwiastków należy pamiętać, że nie wolno mnożyć przez siebie pierwiastków o różnych stopniach.
W przypadku, gdy pierwiastki są tego samego stopnia i należy je pomnożyć to mnożymy przez siebie liczby podpierwiastkowe, a liczby całkowite stojące poza pierwiastkiem przez liczby całkowite stojące poza pierwiastkiem. Jeżeli to możliwe to w wyniku końcowym z liczby podpierwiastkowej wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka.
Przydatne wzory na mnożenie pierwiastków:

Dzielenie pierwiastków
Podczas dzielenia pierwiastków postępujemy podobnie jak przy mnożeniu tzn. liczbę podpierwiastkową dzielimy przez liczbę podpierwiastkową, a liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą. Dzielenie pierwiastków możemy zapisać normalnie (używając „:”), ale także za pomocą kreski ułamkowej. Dzieląc pierwiastki możemy skracać ze sobą liczby podpierwiastkowe.
Przydatne wzory na dzielenie pierwiastków:

Pierwiastek z potęgi
Temat pierwiastka z potęgi najłatwiej jest wytłumaczyć opierając się o wzory.
Wzory dotyczące pierwiastka z potęgi przedstawione są poniżej.

W powyższych wzorach zauważmy, że wynikiem pierwiastkowania jest wartość bezwzględna z x, tzn., że nieważne jakiego znaku jest x pod pierwiastkiem jeżeli potęga jest parzysta, ponieważ każda liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej jest dodatnia.

W pierwiastkach o potędze nieparzystej jeżeli liczbą podpierwiastkową jest liczba ujemna to wynikiem też jest liczba ujemna, a jeżeli liczba podpierwiastkowa jest dodatnia to wynik jest liczbą dodatnią.

Jeżeli jest taka możliwość to możemy skrócić ze sobą potęgę do której jest podniesiony pierwiastek z stopniem tego pierwiastka.

ZADANIA

ZADANIE 1
Oblicz.

Wskazówka: W poniższych przykładach mamy za zadanie dodać lub odjąć pierwiastki o tych samych liczbach podpierwiastkowych i tym samym stopniu. To jest najłatwiejszy przypadek dodawania i odejmowania pierwiastków. Robimy to na zasadzie 1 kalendarz + 2 kalendarze = 3 kalendarze lub 3 szklanki – 1 szklanka = 2 szklanki.

a)
b)
c)
d)
e)
f)

ZADANIE 2
Oblicz.

Wskazówka: W podanych przykładach mamy do czynienia z liczbami podpierwiastkowymi, które możemy zapisać jako iloczyn dwóch liczb, z których jedna jest podniesiona do potęgi, której jest stopień pierwiastka. Szczegółowe informacje na ten temat można znaleźć w opracowaniu.

a)
b)
c)
d)
e)
f)

ZADANIE 3
Oblicz.

Wskazówka: W poniższych przykładach należy pomnożyć ze sobą pierwiastki. Mnożenie pierwiastków odbywa się na zasadzie liczba podpierwiastkowa razy liczba podpierwiastkowa, liczba przed pierwiastkiem razy liczba przed pierwiastkiem. Jeżeli jest to możliwe to w wyniku wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka. Należy też zwrócić uwagę na stopnie pierwiastków, bo jeden przykład jest podchwytliwy.

a)
b) //to jest ten przykład podchwytliwy, ponieważ nie można przez siebie mnożyć pierwiastki o różnych stopniach, pozostaje nam tylko przepisać działanie na prawą stronę
c)
d)
e)
f)

ZADANIE 4
Oblicz.

Wskazówka: W przykładach w tym zadaniu mamy za zadanie podzielić pierwiastki. Najlepiej jest zamienić normalne dzielenie z użyciem „:” na dzielenie z kreską ułamkową. Wtedy jest nam łatwiej skracać jeżeli jest to możliwe.

a)
b)
c)
d)
e)
f)

ZADANIE 5
Oblicz.

Wskazówka: Podane przykłady dotyczą pierwiastków z potęgi. Zwróćmy uwagę czy potęga pod pierwiastkiem jest parzysta czy nieparzysta, a jeżeli nieparzysta to czy liczba podpierwiastkowa jest dodatnia czy ujemna. Zwróćmy uwagę na to czy stopień pierwiastka da się skrócić z potęgą liczby podpierwiastkowej.

a)
b)
c)
d)
e)
f)