Dziedzina funkcji wymiernej

1.Funkcja wymierna przybiera postać f(x) = , gdzie g(x) i h(x) są dowolnymi wielomianami. Jednak, aby uniknąć sytuacji, w której dzielimy wielomian pojawiający się w liczniku przez 0, musimy założyć, że dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem x, dla którego h(x) = 0;

Przykład 1:
Podaj dziedzinę funkcji wymiernej f(x) = , wiedząc, że g(x) = 2x2-x, a h(x) = 4x3+ x2.
Sprawdzamy dla jakiej wartości „x” wielomian znajdujący się w mianowniku – h(x) jest równy 0:
4x3+ x2 = 0
Wyciągamy „x2” przed nawias:
x2 (4x+1) = 0
Równość jest spełniona dla x = 0 i x = – 0,25, dlatego:
Df = R z wyłączeniem 0 i -0,25.

Przykład 2:
Zbadaj czy funkcje wymierne f(x) i g(x) są równe: f(x) = , a g(x) = .
f(x) = g(x) <=> Dff = Dfg oraz dla każdego x Df, zachodzi równość f(x)=g(x).
Zacznijmy od określenia dziedziny funkcji:
Aby określić dziedzinę funkcji f sprawdzamy dla jakich wartości x, x2-9 jest równe 0:
x2-9 = 0
(x-3)(x+3) = 0
Równość jest spełniona dla x = 3 i x = – 3, dlatego:
Dff = R z wyłączeniem 3 i -3.
Aby określić dziedzinę funkcji g sprawdzamy dla jakich wartości x, (x+3)2 jest równe 0:
(x+3)2 = 0
Równość jest spełniona dla x = – 3, dlatego:
Dfg = R z wyłączeniem -3.
Teraz uprościmy wzory funkcji:
f(x) = =
g(x) = =
Pomimo tego, że wzory obu funkcji po uproszczeniu wyglądają identycznie, to funkcja f nie jest określona dla x=3, a g(3) = (ich dziedziny są różne). Z tego wynika, że funkcje nie są równe.