Dzielenie pisemne

co to jest dzielenie pisemne?
To ułatwienie zwykłego dzielenia, za pomocą którego możemy podzielić duże liczby bez pomocy kalkulatora.
schemat dzielenia
1 – dzielenie
2 – mnożenie
3 – odejmowanie
4 – dopisywanie
Przykład 1
585 : 6
Krok 1
Trzeba zapisać liczbę wraz z dzielnikiem i kreskę.

585 : 5
Krok 2
Teraz trzeba pierwszą zapisaną z liczb podzielić na 5. Trzeba ją podzielić na 5, ponieważ to przez 5 będzie dzielona cała liczba. Jest to pierwszy z punktów schematu dzielenia.
1
585 : 5

5 podzielone na 5 daje 1 więc zapisujemy jedynkę nad kreską.
Krok 3
Teraz punkt drugi z naszego schematu, czyli mnożenie. Trzeba jedynkę, która jest nad kreską ułamkową pomnożyć razy 5. Trzeba ją pomnożyć razy 5, ponieważ 5 to liczba przez którą będzie dzielona cała liczba.
1
585 : 5
5
Krok 4
Teraz czas na odejmowanie. Należy odjąć od pięciu pięć.
1
585 : 5
–5
0

Pięć odjąć pięć to 0, zapisujemy więc pod spodem zero.
Krok 5
Teraz czas na dopisywanie. Należy dopisać pierwszą z cyfr, które nam zostały z tych które są dzielone na 5. W tym przypadku nie będzie to 5 tylko 8, ponieważ 5 już zrobiliśmy.
1
585 : 5
-5
08
dopisujemy więc teraz 8, a więc pod odejmowaniem mamy 8.
Krok 6
Teraz trzeba 8 podzielić na 5
11
585 : 5
–5
08
Krok 7
Teraz znowu należy pomnożyć (idziemy cały czas według schematu, gdy schemat kończy się zaczyna się go od nowa, dopóki nie przejdziemy wszystkich liczb).
11
585 : 5
-5
08
05
Krok 8
Teraz trzeba odjąć.
11
585 : 5
-5
08
-5
3
8 – 5 to 3. Zapisujemy więc 3.
Krok 9
Skoro już odjęliśmy to teraz należy dopisać.
11
585 : 5
-5
08
-5
35
Dopisaliśmy 5, ponieważ tylko ona została do zapisanie wszystkie inne liczby już zrobiliśmy.
Krok 10
Skoro zrobiliśmy dopisywanie, to należy zrobić dzielenie.
117
585 : 5
-5
08
-5
35

35 : 5 = 7, więc zapisujemy obok jedenastu siódemkę.
Krok 11
Po dzieleniu jest mnożenie. Trzeba pomnożyć więc 7 razy 5.
117
585 : 5
-5
08
-5
35
35
Siedem razy pięć to 35.
Krok 12
Teraz czas na odejmowanie…
117
585 : 5
-5
08
-5
35
-35
00
Teraz powinno być dopisywanie, ale nie ma już żadnej liczby. Oznacza to, więc że jest koniec. Zatem 585 podzielone na pięć to 117. Dwa zera na samym dole, które zostały oznaczają resztę. Reszta zostaje z niektórych działań z dzieleniem, ponieważ nie zawsze każdą liczbą da się podzielić przez inną liczbę tak, żeby jej nie było. Np. 17 podzielone przez 5 daje 3, ale z resztą 2, ponieważ w 17 mieszczą się trzy piątki, ale zostaje jeszcze 2.

Jak ułatwić sobie dzielenie pisemne?
Przede wszystkim najważniejsze jest to, aby wszystkie liczby zapisywać w odpowiednich miejscach. Często źle wpisana liczba może być przyczyną pomyłki, lub wprowadzenia zamieszania w obliczeniach (np. nieczytelności).

Kiedy można użyć dzielenia pisemnego?
Można używać dzielenia pisemnego właściwie za każdym razem, w którym mamy dzielenie. Można dzielić pisemnie nawet jeśli liczby, które są dzielone mają bardzo dużo cyfr.
Nawet, jeżeli liczbę dzielimy przez liczbę, która ma więcej niż jedną cyfrę, to i tak można użyć dzielenia pisemnego.

Przykład 1
5287 : 61
Do obliczenia tego ilorazu można użyć dzielenia pisemnego, mimo iż liczba przez którą będziemy dzielić ma więcej niż jedną cyfrę. Należy wtedy postępować podobnie, jednak trochę inaczej.
8
5287 : 61

Skąd wzięła się ósemka?
Jeśli widzimy, że pierwszą cyfrą tak jak i w tym przypadku jest piątka, to nie możemy jej wziąć, ponieważ nie dzieli się ona na 61 (piątka dzieli się na sześćdziesiąt, lecz wyjdzie wtedy liczba mniejsza niż 1, a takiej liczby tutaj nie możemy użyć). Należy więc uwzględnić jeszcze drugą cyfrą. Druga liczba to dwójka. Skoro druga liczba to dwójka, a pierwsza to piątka to mamy 52, której również nie da się podzielić na 61, ponieważ również wyjdzie liczba poniżej 1. Trzeba więc użyć jeszcze trzeciej cyfry, czyli 8. 528 dzieli się już na 61, więc można wykonać dzielenie. Dalej wszystko przebiega tak samo.

86
5287 : 61
-488
407
-366
41

5387 : 61 = 86 reszty 41
Liczba 41 pod dzieleniem oznacza resztę. Pięć tysięcy trzysta osiemdziesiąt siedem podzielone na sześćdziesiąt jeden to osiemdziesiąt sześć i reszta czterdzieści jeden.

jak poprawnie zapisywać?
Ale co oznacza to, że trzeba wpisywać liczby w odpowiednich miejscach? Oznacza to, że wpisujemy każdą cyferkę dokładnie nad, lub pod inną cyferką, spójrz na przykład na zdjęcie wyżej (jest ono nad przykładem pierwszym). Na zdjęciu, gdy ktoś podzielił 83 na 12, to zapisał 6 dokładnie nad trójką. Dlaczego nie nad ósemką? Dlatego, że nad ósemką oznaczałoby to, że 8 podzielić na 12 to 6, a trzeba było podzielić 83, a nie 8, dlatego trzeba zapisać tą cyfrę nad trójką, czyli jak gdyby równocześnie „nad osiemdziesiątką trójką”. Potem zapisał, że 6 razy 12 to 72, lecz trzeba zwrócić uwagę, że ta 72, jest dokładnie pod 83, dlatego żeby potem wiedzieć od czego będzie trzeba odjąć 72. Potem odjął 72 od 83, wynik również trzeba było zapisać bezpośrednio pod działaniem, a dopisaną obok cyfrę tuż obok w podobnym odstępie, jak te cyfry, które zostały w wyniku odejmowania. Tak jak więc widzimy wszystkie liczby trzeba zapisywać w odpowiednich miejscach, żeby się nie pogubić.

Zadanie 1
Pani Asia ma 950 jabłek. Chce je podzielić pomiędzy piątkę swoich dzieci.
Zróbmy to zadanie krok po kroku.

Na początku należy zapisać dziewięćset pięćdziesiąt pięć podzielić na pięć i napisać nad tym kreskę oraz podzielić dziewięć (jest to pierwsza cyfra) przez pięć
1
950 : 5

Teraz trzeba pomnożyć jedynkę razy pięć.
1
950 : 5
5

Skoro zrobiliśmy już mnożenie to teraz należy odjąć. Odjąć trzeba będzie piątkę od dziewiątki
1
950 : 5
-5
4

Po odejmowaniu trzeba zrobić dopisywanie. Należy dopisać pierwszą cyfrę z tych co nam zostały
1
950 : 5
-5
45

Skoro otrzymaliśmy po dopisaniu liczbę 45 to teraz trzeba ją podzielić. Zostanie ona podzielona przez pięć.
19
950 : 5
-5
45

Teraz trzeba pomnożyć w tym przypadku razy dziewiątkę razy pięć.
19
950 : 5
-5
45
-45
00

Należy wykonać teraz dopisywanie, jednak do dopisania zostało jedynie zero.
19
950 : 5
-5
45
-45
000

Zera nie da się podzielić przez pięć dlatego w tym miejscu piszemy po prostu zero.
190
950 : 5
-5
45
-45
000

Teraz po prostu mnożymy zero razy pięć, czyli wynik to zero.
190
950 : 5
-5
45
-45
000
-000
000

950 : 5 = 190
Dziewięćset pięćdziesiąt podzielić na pięć to 190. 190 bez reszty, ponieważ pod działaniem mamy zero, czyli nie ma tutaj reszty.

Odpowiedź: Pani Asia musi dać każdemu z dzieci po 190 jabłek, żeby rozdzielić sprawiedliwie.

Zadanie 2
Pani dyrektor pewnej klasy otrzymała od kogoś w prezencie lizaki. Stwierdziła, że da je wszystkie dzieciom ze szkoły, ponieważ zbliżał się dzień dziecka. Po jakimś czasie stwierdziła, że lizaków jest więcej niż dzieci. Pani dyrektor chciała, aby podział był sprawiedliwy. Wiedziała, że w szkole jest 600 uczniów i wiedziała też, że ma 1835 lizaków. Pomóż jej stwierdzić ile z lizaków powinno dostać, każde z dzieci, żeby było sprawiedliwie.

Na początku na pewno należy zapisać działanie 1835 : 600, ponieważ będziemy chcieli podzielić ilość lizaków, na ilość uczniów.

1835 : 600

Teraz trzeba podzielić jedynkę przez sześćset, jednak nie uda nam się to, bierzemy więc drugą cyfrę, którą jest tutaj 8. Mamy więc 18, ale 18 również nie dzieli się na sześćset. Trzeba więc jeszcze uwzględnić trzecią liczbę, którą jest trzy. Nadal mamy za mało, ponieważ 183 nie dzieli się na sześćset. Po wzięciu czwartej liczby, która jest piątką, mamy 1835. Ją da się już podzielić na sześćset.

3
1835 : 600

1835, podzielone na sześćset dało trzy. Teraz trzeba pomnożyć trzy razy sześćset, ponieważ po dzieleniu zawsze wykonujemy mnożenie.
3
1835 : 600
1800

Trzy razy sześćset to tysiąc osiemset, więc należy teraz odjąć.

3
1835 : 600
-1800
35

Wynik odejmowania to 35. Teraz powinno być dopisywanie, ale nie ma już nic do dopisania. Oznacza to, że skończyliśmy nasze dzielenie. Z działania tego wynika, że tysiąc osiemset trzydzieści pięć podzielone na sześćset to trzy, a reszty trzydzieści pięć.

1835 : 600 = 3 reszty 35

Oznacza to, że jeśli Pani dyrektor chce dać te lizaki dzieciom to musi dać każdemu z nich po trzy, a oprócz tego zostanie jej jeszcze trzydzieści pięć (wiemy o tym z reszty).

Odpowiedź: Pani dyrektor musi dać każdemu z dzieci trzy lizaki. Zostanie jej jeszcze 35 lizaków.

Zadanie 3
Świętemu Mikołajowi zostało do rozdania 2175 prezentów. Miał odwiedzić jeszcze 36 dzieci. Policz ile prezentów dostanie każde z dzieci.
60
2175 : 36
-216
15
-0
15

2175 : 36 = 60 reszty 15

Jeśli mamy sytuacje jak np. w przykładzie powyżej, że musimy podzielić coś na większą liczbę (w tym przypadku piętnaście na trzydzieści sześć) to zapisujemy zero. Potem robimy już wszystko tak samo – zero razy trzydzieści sześć to zero. Piętnaście odjąć zero to piętnaście.

Odpowiedź: Każde z dzieci dostanie 60 prezentów. Mikołajowi zostanie jeszcze 15 prezentów.

Zadanie 4
W fabryce zabawek, w pewnym dniu wyprodukowane 3690 zabawek. Trzeba było je pochować do kartonów, żeby odwieść je potem do sklepu. Kartonów było 90. Oblicz ile zabawek będzie w każdym kartonie, jeżeli wiadomo, że w każdym kartonie będzie tyle samo zabawek.
41
3690 : 90
-360
90
-90
00

Odpowiedź: W każdym kartonie będzie 41 zabawek.

Zadanie 5
Pan Jan jest ogrodnikiem. Musi zapakować 1050 liści do 25 worków. Policz ile liści w każdym worku będzie miał Pan Jan, jeżeli wiadomo, że w każdym worku musi być taka sama ilość liści.

42
1050 : 25
-100
50
50
00

Odpowiedź: Pan Jan będzie miał w każdym worku po 42 liście.

Zadanie 6
Na drzewie rośnie 575 orzechów. Mama Kasi i Pawła kazała im zerwać orzechy i dała im 5 dużych misek.

a) Policz ile orzechów będzie w każdej misce, jeśli Mama powiedziała im, że w każdym talerzu ma być tyle samo.

1 15
575 : 5
-5
07
-05
25
-25
00

Odpowiedź: W każdej misce będzie po 115 orzechów.

b) Z drzewa spadło już wcześniej na ziemię 55 orzechów, Mama o tym nie wiedziała, jednak Kasia i Paweł chcieli zastanawiali się, czy mogą zrobić tak, aby w tej sytuacji było w każdym talerzu tyle samo orzechów. Pomóż im ustalić, czy mogą tak zrobić oraz ile orzechów było by wtedy w każdym talerzu.

575 – 50 = 525

105
525 : 5
-5
02
-0
25
-25
00

525 : 5 = 105 reszty zero

Ponieważ nie ma reszty, więc da się podzielić pięćset dwadzieścia pięć, tak aby nie zostało reszty.

Odpowiedź: Tak, mogą zrobić tak, żeby w każdym talerzu było tyle samo. Wtedy w każdym talerzy byłoby 105 orzechów.

Dzielenie pisemne wykorzystywane do dzielenia mniejszej liczby przez większą
Dzielenie pisemne wykorzystywać również można aby podzielić mniejszą liczbę przez większą tzn. jeśli chcemy podzielić pięć przez sześć to użyć można również dzielenia pisemnego. Wtedy jednak wynikiem będzie liczba mniejsza niż zero i będzie to liczba po przecinku. Aby robić takie działania należy postępować podobnie, jednak w niektórych aspektach jest inaczej. Dzielenie mniejszej liczby przez większą używane jest również m.in do zamiany ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne, ale tylko jeśli ułamek zwykły jest mniejszy niż zero.

Przykład 1
Podziel 3 przez 4.
0,
3 : 4

Postępujemy podobnie – trzy podzielone przez cztery to zero więc zapisujemy zero oraz przecinek.

0,
3 : 4
-0
3

Dalej postępujemy tak samo, jednak po odjęciu nie mamy co dopisać, ponieważ cyfrę jednocyfrową dzielimy przez cyfrę jedno cyfrową. Należy więc dopisać zero.

0,75
3 : 4
-0
30
-28
20
-20
00

Zostało już reszty zero, więc zakończyliśmy dzielenie.
3 : 4 = 0,75

Co w sytuacji, w której nie zostanie zero?
W takiej sytuacji należy robić do skutku, ale jeśli zobaczymy, że nie ma zera, a cyfry po przecinku cały czas powtarzają się, to zakańczamy nasze równanie na tym etapie.

Przykład 1
0,666
2 : 3
-0
20
-18
20
-18
20
-18
2

Gdy widzimy, że liczby po przecinku są takie same (może to być również ciąg cyfr np. gdyby cały czas powtarzała się 8 i 3, to również po chwili trzeba zakończyć, ponieważ te liczby będą powtarzać się w nieskończoność) to kończymy działanie.