Dzielenie ułamków

Dzielenie ułamków

Wstęp:
W tym opracowaniu przypomnisz sobie w jaki sposób wykonuje się mnożenie ułamków. Na tej podstawie nauczysz się dzielić ułamki, zarówno te zwykłe jak i dziesiętne, oraz przećwiczysz dzielenie ułamków na wielu rożnych przykładach.

Budowa ułamka zwykłego (przypomnienie):
Ułamek zwykły składa się z dwóch liczb oddzielonych kreską ułamkową. Liczba nad kreską ułamkową nazywana jest licznikiem, a liczba pod kreską ułamkową nazywana jest mianownikiem. Na poniższym obrazku licznikiem jest liczba jeden, a mianownikiem liczba dwa (nazwę tego ułamka czytamy: jedna druga):

Mnożenie ułamków zwykłych (przypomnienie):
Mnożenie ułamków zwykłych jest niezwykle proste (pod warunkiem, że zna się tabliczkę mnożenia). Wystarczy licznik pomnożyć z licznikiem, a mianownik z mianownikiem np. mamy pomnożyć ułamek z ułamkiem , co zapisujemy: . Mnożymy ze sobą osobno liczniki i osobno mianowniki, czyli: . A zatem wynik mnożenia z to (ułamek można jeszcze skrócić tzn. licznik i mianownik podzielić przez tę samą liczbę, w tym przypadku możemy podzielić przez 2, czyli licznik dzielimy przez 2 i mianownik też dzielimy przez 2. W rezultacie powstał nam ułamek . Skracanie pozwala nam prościej zapisać dany ułamek, nie zmieniając przy tym jego wartości, bo ).

Dzielenie ułamków zwykłych:
Wiedząc jak mnoży się ułamki zwykłe, bez problemu będziemy potrafili je także dzielić, ponieważ dzielenie przez ułamek to inaczej mnożenie pierwszego ułamka przez odwrotność drugiego ułamka. Odwrotność ułamka otrzymujemy (jak sama nazwa mówi) przez jego „odwrócenie do góry nogami”, czyli zamienienie miejscem licznika z mianownikiem, przykładowo odwrotnością ułamka jest ułamek , a odwrotnością ułamka jest ułamek , czyli 4. Wróćmy jednak do dzielenia ułamków. Załóżmy, że mamy podzielić ułamek przez , czyli mamy wykonać działanie . Tak jak jest napisane powyżej dzielenie przez ułamek to inaczej mnożenie pierwszego ułamka przez odwrotność drugiego, czyli zamiast dzielić ułamek przez pomnóżmy ułamek razy odwrotność , czyli razy . Wykonujemy działanie ( można skrócić przez 2 i wtedy otrzymamy ). A zatem wynikiem dzielenia jest ułamek (). Przećwiczmy dzielenie ułamków zwykłych na poniższych przykładach.

Przykład 1:
Wykonaj dzielenie:
a)
b)
c)
d)

(Podpowiedź: w każdym podpunkcie wykonujemy dzielenie przez ułamek zwykły, czyli mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka)

a) .

b) .

c) .

d) .

Skracanie w dzieleniu ułamków zwykłych:
Jeśli mamy podzielić przez siebie dwa ułamki, których licznik i mianownik są dużymi liczbami, przydatna może się okazać umiejętność ich skracania. Kiedy dzielenie dwóch (nieskracalnych) ułamków zamienimy już na mnożenie („razy odwrotność”) można jeszcze czasem skrócić co nieco „na skos” np. dzieląc ułamek przez , czyli: = . Możemy skrócić „na skos” dwójkę z czwórką, gdyż obie te liczby dzielą się przez dwa (2 : 2 = 1; 4 : 2 = 2), czyli po skróceniu nasz iloczyn wyglądałby tak: . Jak widzimy po skróceniu nasz zapis znacznie się uprościł, dzięki czemu łatwiej nam będzie obliczyć wynik, bo . Przećwiczmy skracanie „na skos”, podczas wykonywania dzielenia ułamków, na poniższych przykładach.

Przykład 2:
Wykonaj dzielenie:
a)
b)
c)
d)

(Podpowiedź: w każdym podpunkcie można wykonać skracanie „na skos”)

a) . Teraz możemy skrócić „na skos” liczbę 2 z liczbą 4, gdyż obie dzielą się przez 2 (2 : 2 = 1; 4 : 2 = 2), czyli:
.

b) . Teraz możemy skrócić „na skos” liczbę 3 z liczbą 21, gdyż obie dzielą się przez 3 (3 : 3 = 1; 21 : 3 = 7), czyli:
.

c) . Teraz możemy skrócić „na skos” liczbę 5 z liczbą 25, gdyż obie dzielą się przez 5 (5 : 5 = 1; 25 : 5 = 5). Możemy także skrócić „na skos” liczbę 6 z liczbą 8, gdyż obie dzielą się przez 2 (6 : 2 = 3; 8 : 2 = 4), czyli:
.

d) . Teraz możemy skrócić „na skos” liczbę 7 z liczbą 35, gdyż obie dzielą się przez 7 (7 : 7 = 1; 35 : 7 = 5). Możemy także skrócić „na skos” liczbę 18 z liczbą 48, gdyż obie dzielą się przez 6 (18 : 6 = 3; 48 : 6 = 8), czyli:
.

Zamiana liczby mieszanej na ułamek (przypomnienie):
Liczba mieszana to liczba składająca się z części całkowitej i ułamka zwykłego. Przykładem takiej liczby jest dwa i jedna druga:

Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek musimy pomnożyć część całkowitą z mianownikiem ułamka, a następnie do tak powstałej liczby dodać licznik ułamka. Przykładowo chcąc zamienić liczbę na ułamek mnożymy część całkowitą z mianownikiem ułamka, czyli mnożymy: 2 2 = 4, a następnie do powstałej liczby dodajemy licznik ułamka, czyli 4 + 1 = 5. W ten sposób liczbę przekształciliśmy na ( ).

Dzielenie liczb mieszanych:
Aby podzielić ze sobą liczby mieszane należy je najpierw zamienić na ułamki, a następnie wykonać zwykłe dzielenie ułamków np. chcąc podzielić liczbę przez musimy najpierw zamienić liczbę mieszaną na ułamek: . Teraz możemy już wykonać dzielenie ułamków: . Przećwiczmy dzielenie liczb mieszanych na poniższych przykładach.

Przykład 3:
Wykonaj dzielenie:
a)
b)
c)
d)

(Podpowiedź: najpierw trzeba zamienić liczbę mieszaną na ułamek, a dopiero potem wykonać dzielenie)

a) .

b) .

c) .

d) .

Budowa ułamka dziesiętnego (przypomnienie):
Ułamek dziesiętny składa się z części całkowitej oraz części ułamkowej. Obie te części oddzielone są przecinkiem. Przykład ułamka dziesiętnego:

Część całkowita ułamka dziesiętnego pełni tutaj tę samą rolę co liczba całkowita w liczbie mieszanej. Liczba w części ułamkowej ułamka dziesiętnego (w tym wypadku 5) jest jakby licznikiem w liczbie mieszanej, a ilość miejsc po przecinku określa liczbę zer stojących za jedynką w mianowniku liczby mieszanej (w tym wypadku jest jedno miejsce po przecinku, czyli jedno zero stoi za jedynką w mianowniku liczby mieszanej, czyli w mianowniku liczby mieszanej jest 10).
Przykłady zamiany ułamka dziesiętnego na liczbę mieszaną: ; ; .
Przy dzieleniu ułamków dziesiętnych najważniejszy będzie przecinek, gdyż jego prawidłowe przesunięcie zapewni nam poprawny wynik.

Dzielenie ułamków dziesiętnych:
Aby podzielić przez siebie dwa ułamki dziesiętne należy przesunąć ich przecinek w prawo o tyle samo miejsc, tak aby powstałe liczby całkowite (ważne jest aby dzielnik był liczbą calkowitą), a następnie wykonać dzielenie na tych liczbach całkowitych np. chcąc podzielić liczbę 6,2 przez 0,2 przesuwamy przecinki tych liczb w prawo o tyle miejsc, tak aby powstały liczby całkowite. W tym wypadku przesuwamy przecinki tych liczb w prawo o jedno miejsce, a następnie wykonujemy dzielenie, czyli: . Przećwiczmy dzielenie ułamków dziesiętnych na poniższych przykładach.

Przykład 4:
Wykonaj dzielenie:
a) 0,24 : 0,8
b) 1,25 : 2,5
c) 0,252 : 3,6
d)

(Podpowiedź: w podpunktach a, b ,c należy przesunąć przecinek ułamka dziesiętnego w prawo o określoną liczbę miejsc)

a) Mamy wykonać dzielenie 0,24 : 0,8. W obu liczbach przesuwamy przecinek o dwa miejsca w prawo i wykonujemy dzielenie:

(lub, korzystając z tego, że kreska ułamkowa może być traktowana jako dzielenie, możemy to policzyć tak: ).

b) Mamy wykonać dzielenie 1,25 : 2,5. W obu liczbach przesuwamy przecinek o dwa miejsca w prawo i wykonujemy dzielenie:

(lub).

c) Mamy wykonać dzielenie 0,252 : 3,6. W obu liczbach przesuwamy przecinek o trzy miejsca w prawo i wykonujemy dzielenie:

(lub )

d) (Podpowiedź: w podpunkcie d należy zamienić ułamek dziesiętny na zwykły lub zwykły na dziesiętny i dopiero wtedy wykonać dzielenie)
I sposób:
II sposób:

Podsumowanie:
W tym opracowaniu przypomniałeś sobie czym jest ułamek zwykły, dziesiętny oraz liczba mieszana. Powtórzyłeś sobie również w jaki sposób mnoży się ułamki i na tej podstawie nauczyłeś się dzielić ułamki, zarówno te zwykłe jak i dziesiętne. Zweryfikowałeś także zdobytą wiedzę na wielu przykładach.