Efekt Dopplera

   Gdy stoimy obok karetki z włączonymi syrenami, usłyszymy dźwięk o pewnej częstotliwości. Jednak gdybyśmy jechali samochodem, a karetka dalej by stała z włączonymi syrenami, to odbierana przez nas częstotliwość zmieniłaby się, a tym samym zmieniłby się dźwięk jaki słyszymy. Takie zmiany częstotliwości związane z ruchem obserwatora lub źródła są przykładami efektu Dopplera. To zjawisko działa nie tylko dla fal dźwiękowych, jednak można go używać także dla fal elektromagnetycznych. Gdybyśmy patrzyli na zielony laser a następnie bardzo szybko uciekalibyśmy od niego ze stałą prędkością, to zauważylibyśmy, że zielony laser zamieniłby się w czerwony, ponieważ odbierana przez nas częstotliwość zmieniłaby się.
Aby zobaczyć jak opisać te zmiany częstotliwości, to na początku rozważmy kilka szczególnych przypadków.

Nieruchome źródło, ruchomy detektor

Detektor jest tu przedstawiony jako ucho. Częstotliwość jest to liczba napotykanych czół fali w czasie

.

Jeśli detektor i źródło się nie poruszają to , gdzie λ to długość fali a – to prędkość dźwięku w ośrodku, w którym się znajdujemy. Dla powietrza . Po podstawieniu otrzymamy

(częstotliwość dla nieruchomego źródła i detektora).

Teraz zastanówmy się jak obliczyć , jeśli detektor zbliża się do źródła z prędkością względem powietrza. Wydaje się oczywiste, że częstotliwość powinna wzrosnąć.

W takim przypadku detektor także zarejestruje czół, jednak dodatkowo zarejestruje jeszcze czół. Czyli w sumie mamy . Podstawiając to do wzoru na częstotliwość otrzymujemy

,

gdzie to częstotliwość odbierana przez detektor. Jednak wiemy, że , gdzie to częstotliwość źródła, więc

.

Więc rzeczywiście częstotliwość wzrosła. Jeśli detektor oddalałby się od źródła, to otrzymalibyśmy dokładnie taki sam wynik, lecz ze znakiem minus pomiędzy i . Więc ogólny wzór możemy zapisać w takiej postaci

(nieruchome źródło, ruchomy detektor).

Warto zauważyć, że dla wzór ten sprowadza się do postaci , więc wtedy odbierana częstotliwość nie zmienia się.

Ruchome źródło, nieruchomy detektor

Jeśli czas będzie równy czasie, pomiędzy emisją fal i , to czoło fali w czasie przebędzie drogę , jednak źródło także przebędzie drogę ( to prędkość źródła względem powietrza). W wyniku tego przemieszczenia źródła zmieni się długość fali, więc

,

gdzie to zmodyfikowana długość fali. Ta nowa długość będzie równa , więc

Jeśli źródło oddalałoby się od detektora, to nowa długość fali byłaby równa i otrzymalibyśmy to samo, ale ze znakiem plus pomiędzy i . Ogólny wzór można zapisać w ten sposób

(ruchome źródło, nieruchomy detektor).

Ogólny wzór dla efektu Dopplera
Teraz możemy połączyć wyprowadzone wzory dla szczególnych przypadków w całość dla wszystkich przypadków.

(efekt Dopplera).

Jeśli źródło i detektor zbliżają się do siebie to znaki należy dobrać tak, aby otrzymać wzrost częstotliwość. Jeśli oddalają się od siebie to znaki trzeba tak dobrać, aby otrzymać zmniejszenie częstotliwości.

Postarajmy się teraz być policjantem i znajdźmy prędkość samochodu jadącego w stronę policjanta, znając zarejestrowaną częstotliwość. Załóżmy, że policjant wysyła sygnał o częstotliwości Hz w stronę samochodu, który następnie odbija się od samochodu i wraca do policjanta. Policjant, który stoi nieruchomo, rejestruje częstotliwość Hz. Gdy policjant wysyła sygnał to możemy znaleźć częstotliwość, jaką rejestruje samochód

,

gdzie to prędkość samochodu. Użyliśmy tu znaku plus, ponieważ samochód jedzie w stronę policjanta, więc częstotliwość musi wzrosnąć. Tutaj samochód był detektorem. Teraz, gdy sygnał wraca do policjanta, samochód jest już źródłem, który wysyła sygnał o częstotliwości . Częstotliwość jaką rejestruje policjant jest równa

.

Użyliśmy tu znaku minus, ponieważ źródło, czyli samochód zbliża się do detektora, więc częstotliwość musi wzrosnąć. Żeby tak się stało, to w mianowniku musi być minus. Podstawmy teraz do tego wzoru

.

Możemy teraz wyznaczyć naszą niewiadomą, czyli

.

Dla naszych danych otrzymujemy

.

Jak widać jest to dość duża prędkość, więc nasz policjant mógłby zacząć działać.

Efekt Dopplera dla światła
Prędkość światła nie zależy od ośrodka, w którym się znajduje i zawsze wynosi . Jednak dla tak dużych prędkości musimy uwzględnić efekty wynikające ze szczególnej teorii względności takie jak dylatacja czasu albo skrócenie Lorentza. Dlatego wzór na efekt Dopplera zmienia się względem tego, który już poznaliśmy. Jeżeli detektor i źródło oddalają się od siebie z prędkością skierowaną wzdłuż linii prostej łączącej detektor i źródło, to zmieniona częstotliwość prezentuje się takim wzorem:

(efekt Dopplera dla światła).

W równaniu tym . Jeżeli przybliżałyby się do siebie to po prostu należy zamienić znaki przed , tak jak to robiliśmy w zwykłym efekcie Dopplera. W przypadku prędkości dużo mniejszej od prędkości światła to wzór ten można uprościć z dobrym przybliżeniem do

(źródło i detektor oddalają się od siebie z prędkością dużo mniejszą od prędkości światła).

Często chcemy w astronomii wyznaczyć prędkość z jaką galaktyki lub gwiazdy oddalają się od nas albo zbliżają się do siebie. Jednak gwiazdy i galaktyki obracają się, więc przesunięcie dopplerowskie będzie występowało jedynie w wyniku ruchu radialnego naszego obiektu a prędkość, którą wyznaczamy to składowa radialna prędkości gwiazdy. Jeśli założymy, że prędkość radialna gwiazdy jest bardzo mała, to możemy pominąć wyraz i możemy jeszcze bardziej uprościć nasze równanie

.

Przypominamy, że plus stosujemy gdy nasz obiekt zbliża się do nas a minus gdy się oddala. Teraz można zapisać, że i podstawić


.

λ to obserwowana przez nas długość fali a λ0 – własna długość fali. Wyznaczając z tego równania , otrzymamy

(radialna prędkość źródła dla << ).

Efekt Dopplera stosowany jest nie tylko w radarach, lecz także w astronomii czy w medycynie. Dzięki niemu wiemy dziś, że nasz Wszechświat rozszerza się. Dziwne że tak proste zjawisko może służyć, do tak wielkich rzeczy jak opisywanie naszego świata. Z kolei w medycynie możemy nie tylko sprawdzić budowę różnych narządów, ale również dzięki efektowi Dopplera możemy śledzić szlaki różnych procesów np. jak płynie krew w naszym organizmie. Udoskonaliły się także aparaty ultrasonograficzne, które mogą teraz nie tylko rejestrować opóźnienie echa wysyłanego dźwięku, ale także rozróżniać jego wysokość. Dzięki temu na obrazie można pokazać kolorami ruch ciała np. bicie serca u płodu.