Ekstrema lokalne

Ekstremum lokalne funkcji – minimalna (minimum lokalne funkcji) lub maksymalna (maksimum lokalne funkcji) wartość funkcji.

Słowo ,,lokalne” oznacza, że bierzemy pod uwagę niewielkie otoczenie funkcji.

Definicje:
funkcja f osiąga max lokalne w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x S(x0), f(x) < f(x0).
Aby było maksimum lokalne to funkcja musi najpierw rosnąć, a potem maleć.

funkcje f osiąga min lokalne w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x S(x0), f(x) > f(x0)
Aby było minimum lokalne to funkcja musi najpierw maleć, a potem rosnąć.

Min i max lokalne nazywamy extremą funkcji.

Aby zbadać ekstremum lokalne funkcji używamy pochodnych.

Aby istniało ekstremum lokalne funkcji muszą być spełnione dwa warunki:
1) Funkcja może posiadać ekstrema tylko w punktach krytycznych tzn. w punktach, w których pochodna funkcji się zeruje lub funkcja jest nieokreślona.
f'(x) = 0
2) Warunkiem koniecznym na to, aby w miejscach zerowania się pochodnych były ekstrema jest zmiana znaku pochodnej przy przejściu przez te miejsca zerowe. Jeśli f'(x) zmienia znak z + na – to jest maksimum, a jeśli z – na + to jest minimum.

Przykład 1.
Wyznacz, o ile istnieją ekstrema lokalne funkcji f(x).
f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 2

Na początku musimy wyznaczyć dziedzinę funkcji.

Df = R

Dziedzina funkcji należy do wszystkich liczb rzeczywistych, czyli do zbioru wszystkich liczb.

Obliczanie pochodnej funkcji.
f'(x) = 3x2 + 12x + 9
Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji:
f'(x) = 0
3x2 + 12x + 9 = 0
Delta: 144 – 4 3 9 = 144 – 108 = 36
x1 =

x2 =

Badamy dla jakich argumentów pochodna funkcji jest dodatnia, a dla jakich pochodna jest ujemna.

f'(x) > 0 dla x (-∞,-3) (-1,+∞)
f'(x) < 0 dla x (-3,-1)

Ymax = f(-3) = (-3)3 + 6 (-3)2 + 9 (-3) + 2 = (-27) + 54 + (-27) + 2 = 2
Ymin = f(-1) = (-1)3 + 6 (-1)2 + 9 (-1) + 2 = (-1) + 6 + (-9) + 2 = (-2)

Odpowiedź: Funkcja posiada ekstremum lokalne. Max lokalne wynosi 2, natomiast minimum lokalne wynosi (-2).