Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych f(xy) występuje wtedy gdy spełnione są następujące warunki:
1) pochodna cząstkowa po x w punkcie x0y0 jest równa 0
f’x (x0y0) = 0
2) pochodna cząstkowa po y w punkcie x0y0 jest równa 0
f’y (x0y0) = 0
3) różnica pochodnej cząstkowej mieszanej w punkcie x0y0 podniesionej do kwadratu i iloczynu czystych drugiego rzędu po x i drugiegu rzędu po y będzie mniejsza od 0
yy (x0y0) < 0
To w punkcie x0y0 funkcja f(xy) ma ekstremum lokalne przy czym:
– minimum lokalne występuje wtedy gdy pochodna czysta drugiego rzędu po x w punkcie x0y0 jest dodatnia f”xx(x0y0) > 0
oraz gdy pochodna czysta drugiego rzędu po y w punkcie x0y0 jest dodatnia f”yy(x0y0) > 0
– maksimum lokalne występuje wtedy gdy pochodna czysta drugiego rzędu po y w punkcie x0y0 jest ujemna f”xx(x0y0) < 0
oraz gdy pochodna czysta drugiego rzędu po y w punkcie x0y0 jest ujemna f”yy(x0y0) < 0. Uwaga:
Jeśli > 0 to brak ekstremum w (x0y0)
Jeśli = 0 to przypadek nieokreślony jednoznacznie