Elipsa

Elipsa jest to taki z zbiór punktów, dla których suma odległości od pewnych ustalonych dwóch punktów, zwanych ogniskami jest stała. Inaczej można powiedzieć, że jest to krzywa określona równaniem:, przy czym muszą zostać spełnione następujące trzy warunki:
a>0
b>0
a nie jest równe b

Krzywe stożkowe- powstają one po przecięciu stożka płaszczyzną. Mają one wielkie znaczenie między innymi w astronomii, gdyż ciała niebieskie krążą po orbitach o takich kształtach. Gdy stożek przetniemy płaszczyzną prostopadłą do jego podstawy to powstanie koło. Zmieniając kąty tego cięcia otrzymujemy elipsy o rożnym spłaszczeniu. Jeżeli cięcie stanie się równolegle do tworzącej stożka, to powstanie parabola. Dalej zwiększając kąt otrzymam hiperbolę.

Elipsy składają się z:

wielka oś- każda elipsa posiada dwie osie, które są rożnej długości. To jest ta dłuższa ( punkty, w których przecina elipsę nazywają się wierzchołkami elipsy).

mała oś -ta mniejsza z osi ( punkty, w których przecina elipsę, to kolejna para wierzchołków)

środka-punkt przecięcia się obu osi.

ognisk- są to dwa punkty leżące na osi wielkiej elipsy o współrzędnych i . Są one rozłożone symetryczne względem środka elipsy i suma odległości dowolnego punktu elipsy od nich jest stała.

ogniskowej- jest to po prostu odległość między ogniskami elipsy. Ma ona długość równą 2c, gdzie c zwane półogniskową jest odległością ogniska od środka elipsy.
Punkt c jest zdefiniowany następująco:.

Jak skonstruować elipsę przy użyciu sznurka?
Wybieram dwa stałe punkty i zaczepiam na nich końce sznurka, będą to ogniska elipsy( wybrane punkty nazywam A i B)
Na odcinku AB wybieram punkt W, którego położenie będę zmieniać. Z punktów i kreślę okręgi o promieniach AP i BP. Punkty, w których przecinają się te okręgi określają elipsę.

Promienie wodzące punktu elipsy to odcinki łączące ogniska elipsy z dowolnymi punktami tej elipsy.

Kolejnym ciekawym parametrem jest mimośród elipsy, czyli stosunek półogniskowej do półosi wielkiej elipsy. Najczęściej oznaczany jest literką .

Zadania:
1 Dana jest elipsa o mimośrodzie i ognisku w punkcie F=(,0). Znajdź jej równanie.
równanie elipsy ma postać , gdzie a-jest półosią wielką elipsy, a b-półosią małą. Wobec tego szukanym w zadaniu są a i b.
użyteczne będą następujące wzory: i
Rozwiązanie; wobec tego a= i c=, czyli a==3. Ponadto wiem, że c jest zdefiniowane następująco, czyli b=
Mam więc wartości a i b, czyli znam również równanie elipsy:

2 Dana jest elipsa o równaniu , oblicz jej mimośród.
Wzóry mogące przydać się w zadaniu: , oraz .
Rozwiązanie: przekształcając równanie danej elipsy otrzymuję kolejno:


czyli a =2 i b=1
Aby obliczyć mimośród potrzebuję jeszcze c, które mogę obliczyć następująco:
= 4-1=3
zatem c= lub
Ponieważ c jest odległością to jest dodatnia. Podsumowując , co kończy rozwiązanie zadania.

3 Dana jest elipsa o równaniu . Oblicz długość jej półosi wielkiej.
przydatny wzór:
Szukaną w zadaniu jest a.
Rozwiązanie: Podane w treści zdania równanie elipsy dzielę obustronnie przez 144 i otrzymuję , czyli . Porównując ostatnią równość z równaniem elipsy otrzymuję, że a=12, co kończy rozwiązanie zadania.

4 Wyznacz długości półosi wielkiej i małej elipsy o równaniu
Równanie danej elipsy przekształcę do postaci .
Rozwiązanie:
/:45



Z ostatniego równania łatwo odczytuję, że i b=

Pole i obwód elipsy wyrażają się następującymi wzorami:
π
L=π[(a+b)- ], przy czym trzeba wspomnieć, że jest to tylko wzór przybliżony. Obwodu elipsy nie da się przedstawić w postaci algebraicznej.

Zadania z polem i odwodem elipsy:
1
Oblicz jakie pole ma elipsa na rysunku poniżej.
Z rysunku można odczytać, że dłuższa półoś elipsy ma długość 3, a krótsza 2, czyli a=3 i b=2. Ponieważ pole elipsy wyraża się wzorem P=abπ, to posiadamy już wszystkie potrzebne wartości, czyli P, co kończy rozwiązanie zadania.

2 Dany jest okrąg o równaniu i elipsa, której półoś wielka jest równa długości promienia okręgu. Pole tej elipsy jest równe połowie pola koła. Jaka jest długość drugiej półosi elipsy?
Równanie okręgu o środku S=(a,b) jest następujące . Porównują to równanie z równaniem danego okręgu otrzymuję, że a=b=0 i r= lub . Ponieważ r jest odległością, to ujemne rozwiązanie odpada.
Z treści zadania wiem, że a=r=. Ponadto wiem, że pole koła jest 2 razy większe od pola elipsy, co można zapisać π=2abπ, czyli po podzieleniu przez pi otrzymuję, że =2ab i po podstawieniu wartości a oraz r 2=, czyli , co kończy rozwiązanie zadania.

3 Oblicz pole elipsy o równaniu .
Równanie elipsy podane w treści zadania przekształcę teraz do postaci .
/:6

, z czego widać, że a=, a b=
Pole elipsy wyraża się wzorem P=abπ, czyli wszystkie potrzebne wartości już posiadam. Wystarczy podstawić P= , co kończy rozwiązanie zadania.

4 Oblicz ile sznurka potrzeba do ułożenia elipsy o polu 8π i osi wielkiej o długości 6.
Pole elipsy jest równe P=abπ, czyli ab=8, a wzór przybliżony na obwód elipsy to L=π[(a+b)- ]. Ponadto z treści zadania wiemy, że oś wielka elipsy, czyli 2a ma długość 6. Wobec tego a=3 i b=. Podstawiając otrzymane wartości do wzoru na obwód elipsy otrzymuję kolejno:
L=π[–] 3,14

Kolejnym ciekawym tematem związanym z elipsą jest elipsoida, czyli bryła, której wszystkie przekroje są elipsami. Tak jak kwadrat w przestrzeni trójwymiarowej jest sześcianem, tak elipsa jest elipsoidą. Szczególnym przypadkiem jest elipsoida obrotowa, która powstaje przez obrót elipsy wokół własnej osi symetrii.
Równanie elipsoidy wygląda następująco:, gdzie to równanie opisuje elipsoidę mającą środek w początku układu współrzędnych.

Zadanie na wyznaczanie równania elipsy mając określony punkt na niej:
Wyznacz równanie elipsy przechodzącej przez punkt G=(4,0), o ogniskach oraz
Rozwiązanie: wiadomo, że równanie elipsy ma postać , gdzie a i b to półosie elipsy. Jeżeli na elipsie leży punkt W=(x, y) i wiem ile jest równe c, to mogę ułożyć układ równań.
Oraz
Przekształcając drugą równość otrzymuję, że a=4 i w związku z tym . Podsumowując równanie elipsy danej w treści zadania ma następującą postać , co kończy rozwiązanie zadania.