Funkcja

-wzór, czyli przedstawienie za pomocą wzoru jaka wartość y jest równa argumentowi x, f(x) we wzorze funkcji jest równe y
Przykład:

-wykres, czyli wizualne pokazanie za pomocą m. in. linii, paraboli dla jakich argumentów x funkcja przyjmuje wartość y
Przykład:

Które przyporządkowanie jest, a które nie jest funkcją?
Każdemu człowiekowi przypisuje się jeden, inny niż pozostałe numer PESEL.
To przyporządkowanie jest funkcją, ponieważ nie ma sytuacji, w której jeden człowiek ma kilka numerów PESEL.

Każda osoba mająca telefon ma inny numer telefonu.
To przyporządkowanie jest funkcją, ponieważ jeden człowiek ma dokładnie jeden numer telefonu. Dodatkowo jeden numer telefonu jest przypisany tylko do jednego użytkownika.

Każdej liczbie naturalnej od 1 do 3 przyporządkowujemy jej dzielniki.
To przyporządkowanie nie jest funkcją, ponieważ przykładowo liczba 2 ma dwa dzielniki: 1 i 2, a liczba 3 również ma dwa dzielniki: 1 i 3, a zgodnie z definicją jeden argument x nie może mieć więcej niż jedną wartość y.

Każdemu uczniowi ze szkoły podstawowej przyporządkowujemy rok urodzenia.
To przyporządkowanie jest funkcją, ponieważ każdy człowiek ma jeden rok urodzenia. Nie można mieć więcej niż jednego roku urodzenia. Pewna liczba uczniów może urodzić się w tym samym roku. Zgodnie z definicją funkcji kilka argumentów x może mieć tą samą wartość y, czyli podane przyporządkowanie jest funkcją.

Który wykres jest, a który nie jest funkcją?

Powyższy wykres nie jest funkcją, ponieważ dla tego samego argumentu x przyjmuje dwie wartości y, np. dla argumentu 0 funkcja przyjmuje wartość 0 oraz 7, co jest niezgodne z definicją funkcji.

Powyższy wykres jest wykresem funkcji, ponieważ dla dowolnego argumentu x funkcja przyjmuje inną wartość y. Podana funkcja jest wykresem funkcji liniowej. Więcej informacji o funkcji liniowej jest omówione w następnej części opracowania.

Podany wykres jest wykresem funkcji, ponieważ funkcja może przyjmować te same wartości y dla kilku argumentów x.

Powyższy wykres nie jest wykresem funkcji, ponieważ przykładowo dla argumentu 0 funkcja przyjmuje wartość 7 i -7.

Rodzaje funkcji
Wyróżniamy następujące rodzaje funkcji:

Funkcja liniowa
Funkcja liniowa jest najprostszym rodzajem funkcji. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. jeżeli chcemy narysować wykres funkcji liniowej to należy wyznaczyć dwa punkty, które do należą do wykresu funkcji. Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wzór ogólny funkcji liniowej
Funkcję liniową możemy opisać wzorem:

W tym zapisie:
a – współczynnik kierunkowy
b – wyraz wolny
a, b

Monotoniczność funkcji
Jeżeli funkcja jest rosnąca, stała lub malejąca to jest ona monotoniczna.

We wzorze funkcji liniowej monotoniczność funkcji określamy za pomocą współczynnika kierunkowego.

Jeżeli a > 0 to funkcja jest rosnąca.
Jeżeli a = 0 to funkcja jest stała.
Jeżeli a < 0 to funkcja jest malejąca.

Natomiast na wykresie funkcji liniowej jest nam łatwiej ustalić czy funkcja jest rosnąca, stała czy malejąca.
Przykład wykresu funkcji liniowej rosnącej:

Na powyższym wykresie widzimy, że im wyższy argument x, tym funkcja przyjmuje większe wartości y.

Przykład wykresu funkcji liniowej stałej:

Na wykresie funkcji stałej widzimy, że nie ma znaczenia wartość argumentu x, ponieważ funkcja przyjmuje zawsze takie same wartości.

Przykład wykresu funkcji liniowej malejącej:

Na wykresie funkcji liniowej malejącej widzimy, że im wyższy argument x, tym funkcja przyjmuje mniejsze wartości y.

Miejsca zerowe funkcji liniowej
Funkcja liniowa ma:
-zero miejsc zerowych /0
-jedno miejsce zerowe a ≠ 0
-nieskończenie wiele miejsc zerowych y = 0

Miejsca zerowe funkcji liniowej możemy obliczyć na dwa sposoby.

I sposób:
Przyrównanie wzoru funkcji do zera, czyli mając wzór funkcji za f(x) stawiamy 0 i obliczamy x, które będzie miejscem zerowym.

Przykład:
Oblicz miejsca zerowe funkcji

Ta funkcja posiada jedno miejsce zerowe, ponieważ a ≠ 0.

|+6
|:2

Miejscem zerowym tej funkcji jest 3.

II sposób:
Obliczanie miejsca zerowego funkcji podstawiając dane do wzoru. Wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej to

Przykład:
Oblicz miejsca zerowe funkcji .

Funkcja posiada jedno miejsce zerowe, ponieważ a ≠ 0.

– wzór ogólny funkcji liniowej, czyli w naszym przypadku:

a = 2, b = -2

Podstawiamy do wzoru:

Miejscem zerowym tej funkcji jest 1.

Funkcja kwadratowa
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. W każdym wzorze funkcji kwadratowej musi wystąpić , może wystąpić x oraz liczba stała.

Wzór ogólny funkcji kwadratowej
Funkcją kwadratową nazywamy funkcję opisaną wzorem:

a, b, c – współczynniki funkcji kwadratowej; a ≠ 0 a, b, c

Wierzchołek paraboli funkcji kwadratowej
Wierzchołek paraboli jest najniższym punktem na paraboli w przypadku ramion skierowanych do góry, a w przypadku ramion skierowanych na dół – najwyższym.
Wzór ogólny funkcji kwadratowej to . Wierzchołkiem paraboli funkcji kwadratowej to
W = (p, q), gdzie , . Wzór na deltę to Δ = .

Przykład:
Znajdź wierzchołek funkcji kwadratowej .

Współczynniki podanej funkcji to: a = 1, b = 3, c = 2.

Wierzchołek funkcji kwadratowej zapisujemy jako W = (p. q). Obliczamy p i q.

p =

Do obliczenia q potrzebna nam jest Δ. Wzór na deltę to Δ = .

Δ =

q =

Odp. Wierzchołek podanej funkcji kwadratowej to W = ( , )

Monotoniczność funkcji kwadratowej
Monotoniczność funkcji kwadratowej zależy od współczynnika a

Jeżeli a > 0 to ramiona paraboli są skierowane do góry. Przykład poniżej.

Funkcja w takim wypadku:
–maleje w przedziale (-∞, p>
–rośnie w przedziale

Jeżeli a < 0 to ramiona paraboli są skierowane w dół. Przykład poniżej.

Funkcja w takim wypadku:
-rośnie w przedziale (-∞, p>
-maleje w przedziale

Funkcja kwadratowa nie jest stała, bo zgodnie z definicją a ≠ 0.

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej
Przed obliczaniem miejsc zerowych funkcji kwadratowej określamy ilość miejsc zerowych funkcji. W tym celu obliczamy Δ (deltę). Wzór na deltę Δ = .

Jeśli Δ < 0 to funkcja nie ma miejsc zerowych.

Jeśli Δ = 0 to funkcja ma jedno miejsce zerowe. Obliczamy je za pomocą wzoru .

Jeśli Δ > 0 to funkcja posiada dwa miejsca zerowe. Miejsca zerowe obliczamy za pomocą wzorów:
oraz .

Przykład:
Oblicz miejsca zerowe funkcji .

Współczynniki funkcji: a = 3, b = 2, c = -5

Obliczamy Δ:
Δ =

Δ > 0, czyli funkcja ma dwa miejsca zerowe

Odp. Miejsca zerowe tej funkcji to i 1.

Funkcja wykładnicza
Możemy na podstawie nazewnictwa funkcji wykładniczej stwierdzić, że zmienna x znajduje się w wykładniku.

Wzór ogólny funkcji wykładniczej
Wzór ogólny funkcji wykładniczej wygląda następująco:

W tym zapisie:
a > 0
x

Monotoniczność funkcji wykładniczej
Monotoniczność funkcji wykładniczej zależy od współczynnika a.

Jeżeli a > 1 to funkcja wykładnicza jest rosnąca.
Przykład:

Jeżeli a (0, 1) to funkcja wykładnicza jest malejąca.
Przykład:

Miejsce zerowe funkcji wykładniczej
Funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych, ponieważ nie ma takiego x, dla którego funkcja przyjmowałaby wartość 0.

Funkcja logarytmiczna
Funkcja logarytmiczna jest wyjątkowo ciekawą funkcją m. in. ze względu na jej miejsce zerowe.

Wzór ogólny funkcji logarytmicznej
Wzór ogólny funkcji logarytmicznej prezentuje się następująco:

W powyższym wzorze:
a > 0
a ≠ 1
x > 0

Monotoniczność funkcji logarytmicznej
Monotoniczność funkcji logarytmicznej zależy od podstawy, czyli a.

Jeżeli a > 1 to funkcja logarytmiczna jest rosnąca.
Przykład:

Jeżeli a < 1 to funkcja logarytmiczna jest malejąca.
Przykład:

Miejsce zerowe
Miejscem zerowym funkcji logarytmicznej zawsze jest 1, ponieważ wykres funkcji logarytmicznej przecina zawsze oś OX w punkcie (1, 0).

ZADANIA
ZADANIE 1
Oblicz miejsca zerowe funkcji liniowej .

Wskazówka: Obliczyć miejsca zerowe funkcji liniowej możemy na dwa sposoby: we wzorze funkcji za f(x) wstawić 0 i obliczyć x, które będzie miejscem zerowym albo podstawić dane do wzoru. W proponowanym rozwiązaniu użyjemy tego pierwszego sposobu.

|-10
|:8

Odp. Miejscem zerowym funkcji liniowej jest .

ZADANIE 2
Oblicz wierzchołek paraboli funkcji kwadratowej w postaci ogólnej opisanej wzorem .

Wskazówka: Wierzchołek paraboli można opisać jako W = (p, q). Ze wzoru funkcji kwadratowej w postaci ogólnej nie można odczytać p i q, dlatego należy podstawić dane do wzoru na p i q, najpierw policzymy Δ.

p =

q =

Odp. Wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych W = (1, -5).