Funkcja analityczna

Funkcja analityczna na zbiorze jest funkcją, którą można rozwinąć jako szereg Taylora, który jest w otoczeniu każdego punktu, który należy do

Jeśli dla każdego punktu , który należy do zachodzi wzór: w którym to ciąg liczb rzeczywistych oraz powyższy szereg zbieżny jest do dla każdego , który jest w otoczeniu , to funkcja jest funkcją analityczną w zbiorze otwartym , oczywiście w sensie rzeczywistym, (lub odpowiednio zespolonym).
WŁASNOŚCI:
Funkcją analityczną jest suma, różnica, iloczyn oraz złożenie funkcji analitycznych. Poza tym jest nią odwrotność funkcji analitycznej wtedy, gdy nie osiąga ona zera. Oprócz tego funkcją analityczną jest również funkcja odwrotna do funkcji analitycznej, która nigdy nie jest odwracalna oraz jej pochodna nigdy nie osiąga zera.

Istnieją przykłady funkcji analitycznych. Oto kilka z nich:
Po pierwsze, tymi funkcjami na całej płaszczyźnie zespolonej są wszystkie wielomiany oraz funkcje wykładnicze. Poza tym w sensie rzeczywistym funkcje wymierne ciągłe są analityczne. W sensie rzeczywistym analityczny jest też logarytm, który na płaszczyźnie zespolonej zawsze jest nieciągły na niedostatniej półprostej rzeczywistej.

Jak już wspomniałam, funkcję analityczną na można rozwinąć w szereg Taylora. Ten szereg jest zbieżny na . Ważne aby pamiętać, że nie jest to prawda dla funkcji zmiennej rzeczywistej. Przykładem może być funkcja , która na ℝ jest analityczna, jednak nie da się jej rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całym zbiorze