Funkcja dwóch zmiennych

Funkcja dwóch zmiennych w matematyce elementarnej to inaczej tradycyjne działania (jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, itd….), lecz w mechanice klasycznej oznacza to wektor położenia w przestrzeni konfiguracyjnej, która jest funkcją czasu, przy czym liczba elementów wektora położenia jest równa ilości stopni swobody układu, czyli z tego wynika, że funkcja dwóch zmiennych w mechanice klasycznej opisuje nam wszystkie możliwe położenia ciała (mechanika klasyczna opisuje ruch ciał), co przedstawia poniższy układ współrzędnych:

Przykładowe funkcje dwóch zmiennych:
Pole trójkąta: – funkcja dwóch zmiennych a, h (gdzie 'a’- długość podstawy, 'h’- długość wysokości opuszczonej na ten bok)
Objętość walca obrotowego: (gdzie 'r’- promień koła w podstawie, 'h’- wysokość walca obrotowego)
Zad. 1
Oblicz pochodne cząstkowe rzędu rzędu drugiego funkcji:
z=f(x,y)=
Rozwiązanie: (tutaj skorzystamy z pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu)
f′′xx(x,y)=∂2f(x,y)∂x2=∂∂x(∂f(x,y)∂x)=∂∂x(3x2y3−4x)=6xy3−4,
f′′yy(x,y)=∂2f(x,y)∂y2=∂∂y(∂f(x,y)∂y)=∂∂y(3x3y2)=6x3y,
f′′yx(x,y)=∂2f(x,y)∂y∂x=∂∂x(∂f(x,y)∂y)=∂∂x(3x3y2)=9x2y2,
f′′xy(x,y)=∂2f(x,y)∂x∂y=∂∂y(∂f(x,y)∂x)=∂∂y(3x2y3−4x)=9x2y2.
Z tego wnioskujemy, że f′′xy(x,y)i=f′′yx(x,y)