Funkcja homograficzna

Pośród uczniów szkół średnich często możemy spotkać się z określeniem, że funkcja homograficzna to taka trudniejsza postać funkcji wymiernej. Ziarnko prawdy na pewno jest w tym stwierdzeniu.

Hiperbola, a więc wykres funkcji homograficznej jest przesuniętą hiperbolą o wektor (r jest jakąś wartością stałą).

Ogólną postać funkcji homograficznej przedstawiam poniżej:
,
aby taka funkcja istniała, c musi być różne od zera
dziedziną takiej funkcji, a więc zbiorem w jakim jest określona jest:

Spróbujmy teraz razem rozwiązać kilka zadań

zadanie 1
Naszkicuj wykres funkcji, której wzór to:

Rozwiązanie zadania zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Nasz funkcja musi istnieć, dlatego mianownik musi być różny od zera. Pytamy więc, kiedy nasz mianownik się wyzeruje.

Dzięki temu możemy wyznaczyć dziedzinę. Dziedzina funkcji f(x) to

Aby narysować wykres, przekształćmy sobie wzór funkcji do postaci maksymalnie prostej do narysowania.

Z tej postaci odczytujemy, że funkcję przesuwamy o wektor [3, 1]. Jak więc widzisz, element który stał „za ułamkiem” jest drugą współrzędną wektora. Pierwszą współrzędną wektora jest 3.

Przejdźmy do rysowania wykresu. Rysujemy funkcję „podstawową” g(x). U mnie jest to niebieski wykres. Następnie każdy z punktów tej funkcji przesuwamy o wektor [3, 1]. Jeśli chodzi o praktyczne przesuwanie wykresu, to zazwyczaj 3-4 punkty zaznacza się na podstawowym wykresie, dopisuje się wektory, a następnie nowy wykres po prostu rysujemy w ten sam sposób co podstawowy, ale oczywiście w nowym miejscu. Koniec końców, otrzymujemy czerwony wykres.