Funkcja kwadratowa postać kanoniczna

Funkcję kwadratową można opisać za pomocą postaci kanonicznej ma ona wzór:

y = a (x-p)2 + q lub f(x) = a ( x-p)2 + q Warunek: a różne od 0

PRZYKŁADY:
1.f(x) = 4 (x – 8)2 + 3
2.y = x2 + 2
3.f(x) = -3 (x – 4)2

Wykres funkcji y = a (x-p)2 + q powstaje przez przesunięcie o wektor [p;q] wykresu funkcji y = ax2 .

Ćwiczenie
Jak powstaje wykres funkcji?

a) y = -5 ( x – 2)2 – Powstaje z wykresu funkcji y = -5x2 przez przesunięcie o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi OX, czyli wektor o współrzędnych [2;0].

b) y = 3 (x + 2)2 – 1 – Powstaje z wykresu funkcji y = 3x2 przez przesunięcie o 2 jednostki w lewo wzdłuż osi OX oraz o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY, czyli wektor o współrzędnych [-2; -1].

Wykresem funkcji y = a (x-p)2 + q – jest krzywa zwana parabolą o wierzchołku
W = (p;q).
Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu: x = p.
Z funkcji tej widać nawet bez liczenia współrzędne wierzchołka.

Jeżeli a > 0 to ramiona paraboli są skierowane do góry:

2.Jeżeli a < 0 to ramiona paraboli są skierowane w dół:

Przekształcanie funkcji:

Z postaci kanonicznej —-> na postać ogólną

f(x) = -4 (x – 2)2 + 1
f(x) = -4 (x2 – 4x +4) + 1
f(x) = -4x2 + 16x – 16 + 1 = -4x2 + 16x – 15

a = -4 ; b = 16 c = -15

Wzór postaci ogólnej: y = ax2 + bx + c Warunek: a różne od 0
y = -4x2 + 16x – 15

Z postaci ogólnej –> na postać kanoniczną

Korzystamy ze wzorów:

Δ = b2 – 4ac

p = –

q = –

y = – 5x2 + 2x + 1 a = -5 ; b = 2 ; c = 1

Δ = 22 – 4 * (-5) * 1 = 4 + 20 = 24

q = – = = = 1

p = – = =

y = a (x-p)2 + q

y = -5 (x – )2 + 1

Własności funkcji:

1.Dziedzina: x R ; Df (-∞ ; +∞).
2.Zbiór wartości funkcji: ZWf < 0; +∞) ; y <0 ; +∞)
3.Punkt przecięcia z osią rzędnych: (0 ; 3.5).
4.Miejsca zerowe: x0 = 3.
5.Funkcja rosnąca dla x (3 ; +∞).
Funkcja malejąca dla x (-∞ ; 3).
6.Oś symetrii – prosta x = 3.
7.f(x) > 0 dla x ( – ∞ ; +∞) – funkcja przyjmuje wartości dodatnie.